* BĐT 1 : Đề thiếu $a,b,c>0$ :
$3.(a^3+b^3+c^3) ≥ (a+b+c).(a^2+b^2+c^2)$
$⇔2.(a^3+b^3+c^3) ≥ a.(b^2+c^2)+b.(a^2+c^2)+c.(a^2+b^2)$
$⇔ (a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(c^3+a^3) ≥ ab.(a+b) + bc.(c+b)+ca.(c+a)$ (1)
Ta đi chứng minh BĐT sau $x^3+y^3 ≥ xy.(x+y)$ với $x,y>0$
$⇔ x^3-x^2y+y^3-xy^2 ≥ 0 $
$⇔x^2.(x-y)-y^2.(x-y) ≥ 0 $
$⇔(x-y).(x^2-y^2) ≥ 0 $
$⇔(x-y)^2.(x+y) ≥ 0$ ( đúng với $x,y>0$ )
Do đó BĐT (1) đúng.
Vậy $3.(a^3+b^3+c^3) ≥ (a+b+c).(a^2+b^2+c^2)$
* BĐT 2 :
$9.(a^3+b^3+c^3) ≥ (a+b+c)^3$ với $a,b,c>0$
Theo BĐT (1) ta có :
$3.(a^3+b^3+c^3) ≥ (a+b+c).(a^2+b^2+c^2)$
$\to 9.(a^3+b^3+c^3) ≥ 3.(a+b+c).(a^2+b^2+c^2)$ (*)
Ta sẽ đi chứng minh $3.(a^2+b^2+c^2) ≥ (a+b+c)^2$
Thật vậy BĐT tương đương :
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0$
Do đó $VT(*) ≥ (a+b+c).(a+b+c)^2 = (a+b+c)^3$
Vậy BĐT được chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
