Đáp án+Giải thích các bước giải:
a)Xét ΔABC có hai đường cao BD và CE⇒$\left \{ {{BD⊥AC tại D} \atop {CE ⊥AB tại E}} \right.$
lại có$\left \{ {{CK⊥AC tại C} \atop {BK⊥AB tạiB}} \right.$
⇒$\left \{ {{BH//CK} \atop {HC//BK}} \right.$
⇒Tứ giác BHCK là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)
b)Vì tứ giác BHCK là hình bình hành
⇒2 đường chéo HK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà I là trung điểm của BC
⇒I là trung điểm của HK
XétΔAHK có I là trung điểm của HK ,O là trung điểm của AK
⇒IO là đường trung bình trong ΔAHK
⇒IO=$\frac{AH}{2}$ (TÍnh chất )hay AH=2OI
c)Vì MK //BC nên tứ giác BCKM là hình thang
Gọi F là giao điểm của HM và BC
Xét ΔHMK có I là trung điểm của HK, FI// MK(do MK//BC)
⇒F là trung điểm của HM (1)
Vì H là giao điểm của hai đường cao BA và CE trong ΔABC
⇒H là trực tâm trong ΔABC
⇒AH là đường cao ⇒ AH⊥BC hay HM⊥BC tại F(2)
Từ (1) và (2) ⇒BC là đường trung trực của HM
⇒ CH=CM(3)
Vì tứ giác BHCK là hbh nên HC =BK(4)
từ (3) ,(4) ⇒CM =BK
xét hình thang BCKM có CM=BK
⇒ tứ giác BCKM là hình thang cân
d)Gọi G là trung điểm của AH
XétΔAHK có G là trung điểm AH ,I là trung điểm của HK
⇒GI là đường trung bình trongΔ AHK
⇒GI//HK(*)
Xét ΔBEC vuông tại E(góc BEC =90 độ) có EI là đường trung tuyến (do I là trung điểm BC)
⇒EI=BC/2
Xét ΔBDC vuông tại D(góc BDC =90 độ) có DI là đường trung tuyến (do I là trung điểm BC)
⇒DI=BC/2
Do vậy EI =DI
⇒I ∈đường trung trực của ED (5)
Xét ΔAEH vuông tại E(góc AEH =90 độ) có EG là đường trung tuyến (do G là trung điểm AH)
⇒EG=AH/2
Xét ΔADH vuông tại D(góc ADH=90 độ) có DG là đường trung tuyến (do G là trung điểm AH)
⇒DG=AH/2
⇒G ∈đường trung trực của ED(6)
Từ (5) và (6) ⇒IG là đường trung trực của ED
⇒IG⊥ED(**)
Từ (*),(**)⇒ED⊥AK
