Đáp án:
$m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
m\sin x + \left( {1 - m} \right)\cos 2x = \sqrt 5 \\
\Leftrightarrow \dfrac{m}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }}\sin 2x + \dfrac{{1 - m}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }}\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }}\left( 1 \right)\\
\left( {\alpha :\cos \alpha = \dfrac{m}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }};\sin \alpha = \dfrac{{1 - m}}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }}} \right)\\
\end{array}$
Phương trình $(1)$ có nghiệm
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left| {\dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }}} \right| \le 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} }} \le 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} \ge \sqrt 5 \\
\Leftrightarrow {m^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} \ge 5\\
\Leftrightarrow 2{m^2} - 2m - 4 \ge 0\\
\Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 2\\
m \le - 1
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$ thỏa mãn
