Đáp án: $m\ge\dfrac23$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)$
Nếu $m=0\to y'=2x-6$
Vì $x\in[2,+\infty)\to x\ge 2\to 2x-6\ge 2\cdot 2-6=-4$
$\to$Hàm số không đồng biến trên khoảng $[2,+\infty)$
$\to m\ne 0$
$\to y'$ là hàm số bậc $2$ ẩn $x$
Để hàm số đồng biến trên $[2,+\infty)$
$\to mx^2-2(m-1)x+3(m-2)>0,\quad\forall x\in [2,+\infty)$
$\to mx^2-(2mx-2x)+3m-6>0$
$\to (mx^2-2mx+3m)+2x-6>0$
$\to m(x^2-2x+3)>-2x+6$
$\to m>\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}$ vì $x^2-2x+3>0$
Xét hàm số $f(x)=\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}$
$\to f'(x)=(\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3})'$
$\to f'(x)=\dfrac{2x^2-12x+6}{(x^2-2x+3)^2}$
$\to f'(x)=\dfrac{2(x^2-6x+9)-12}{(x^2-2x+3)^2}$
$\to f'(x)=\dfrac{2(x-3)^2-12}{(x^2-2x+3)^2}$
$\to$Lập bảng biến thiên
Vì $\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}=0$
$\to m\ge\dfrac23$
