Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt vế trái của BĐT là $P$
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $a^2,b^2,c^2$ luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với $\dfrac{1}{3}$, không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a^2$ và $b^2$
$⇒(3a^2-1)(3b^2-1) \geq 0$
$⇔9a^2b^2+1 \geq 3a^2+3b^2$
$⇔9a^2b^2+6a^2+6b^2+4 \geq 9a^2+9b^2+3$
$⇔(3a^2+2)(3b^2+2) \geq 3(3a^2+3b^2+1)$
$⇒P \geq 3(3a^2+3b^2+1)(3c^2+2)$
$⇔P \geq 3(3a^2+3b^2+1)(1+1+3c^2)$
$⇒P \geq 3(\sqrt{3}.a+\sqrt{3}.b+\sqrt{3}.c)^2$
$⇒P \geq 9(a+b+c)^2$
Mà $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$
$⇒P \geq 27(ab+bc+ca)$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=±\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
