Đáp án:
$m = \dfrac{1}{3}$
Giải thích các bước giải:
Toạ độ giao điểm của $d$ với trục Oy là:
$y = (1 - 3m).0 + m \to y = m$
Vậy toạ độ giao điểm của $d$ với trục Oy là: $A(0; m)$
Toạ độ giao điểm của $d$ với trục Ox là:
$0 = (1 - 3m).x + m \to (1 - 3m).x = - m \to x = \dfrac{- m}{1 - 3m}$
Vậy toạ độ giao điểm của $d$ với trục Ox là: $B(\dfrac{- m}{1 - 3m}; 0)$
Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến d thì OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng d.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AOB$, ta có:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OA^2} + \dfrac{1}{OB^2}$
Hay:
$\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{(\dfrac{- m}{1 - 3m})^2}$
$\to \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{9m^2 - 6m + 2}{m^2}$
$\to \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{3m - 1)^2 + 1}{m^2}$
Để $OH$ lớn nhất thì $OH^2$ lớn nhất.
Khi đó: $\dfrac{(3m - 1)^2 + 1}{m^2}$ nhỏ nhất.
Ta có:
$(3m - 1)^2 + 1 \geq 1$.
Vậy $(3m - 1)^2 + 1$ nhỏ nhất là 1, đạt được khi:
$3m - 1 = 0 \to 3m = 1 \to m = \dfrac{1}{3}$
Vậy với $m = \dfrac{1}{3}$ thì khoảng cách từ O đến d là lớn nhất.
