Đáp án:

a)

Xét $\triangle ABN$ và $\triangle ACM$ có:

$\widehat{A}$ chung

$AN=AM$ (gt)

$AB=AC$ (gt)

$\Rightarrow \triangle ABN=\triangle ACM$ (c.g.c)

$\Rightarrow BN=CM$ (hai cạnh tương ứng)

b)

Ta có: $AB=AM+MB$

$AC=AN+NC$

mà $AB=AC$ và $AM=AN$ (gt)

$\Rightarrow MB=NC$

Do $\triangle ABN=\triangle ACM$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{MBI}=\widehat{NCI}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{ANB}+\widehat{CNI}=180^0$

$\widehat{AMC}+\widehat{BMI}=180^0$

$\Rightarrow \widehat{BMI}=\widehat{CNI}$

Xét $\triangle IMB$ và $\triangle INC$ có

$MB=NC$

$\widehat{MBI}=\widehat{NCI}$ (cmt)

$\widehat{BMI}=\widehat{CNI}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle IMB=\triangle INC$ (g.c.g)

c)

Do $\triangle IMB=\triangle INC$ (cmt) nên $MI=NI$ (hai cạnh tương ứng)

Xét $\triangle AIM$ và $\triangle AIN$ có

$AM=AN$ (gt)

$AI$ chung

$MI=NI$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AIM=\triangle AIN$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{MAI}=\widehat{NAI}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AI$ là phân giác của $\widehat{A}$

d)

Xét $\triangle ABC$ có $AB=AC$ 

$\Rightarrow \triangle ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ 

mà $\widehat{ABC}=\widehat{MBI}+\widehat{IBC}$

$\widehat{ACB}=\widehat{NCI}+\widehat{ICB}$

$\widehat{MBI}=\widehat{NCI}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{IBC}=\widehat{ICB}$

Xét $\triangle IMN$ có $MI=NI$

$\Rightarrow \triangle IMN$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IMN}=\widehat{INM}$

Ta có: 

$\widehat{IMN}+\widehat{INM}+\widehat{MIN}=180^0$

$\widehat{IBC}+\widehat{ICB}+\widehat{BIC}=180^0$

mà $\widehat{IMN}=\widehat{INM}$ (cmt) ; $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ (cmt)

$\Rightarrow 2\widehat{IMN}+\widehat{MIN}=180^0$

$2\widehat{ICB}+\widehat{BIC}=180^0$

mà $\widehat{MIN}=\widehat{BIC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{ICB}=\widehat{IMN}$ 

mà chúng ở vị trí so le trong

$\Rightarrow MN//BC$