`x;y\in Z`
`\qquad x^3=y^3+2019`
`<=>x^3-y^3=2019`
`<=>(x-y)^3 +3x^2 y-3xy^2=2019`
`<=>(x-y)^3+3(x-y)xy=2019 `
Ta có:
`\quad 2019\ \vdots\ 3; 3(x-y)xy \ \vdots\ 3`
`=>(x-y)^3 \ \vdots\ 3` $⇒x-y \vdots\ 3$ (bổ đề $1$)
`=>x-y=3k\quad (k\inZ)`
`=>(x-y)^3 =(3k)^3=27k^3=9.3k^3`
`=> (x-y)^3\ \vdots\ 9`
Vì `x-y \ \vdots\ 3 =>3(x-y)xy \ \vdots\ 9`
`=>(x-y)^3+3(x-y)xy \ \vdots\ 9`
Mà `2019` không chia hết cho $9$
`=>` Phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.
Vậy không tồn tại $x;y\in Z$ thỏa:
`x^3=y^3+2019`
___
C/m bổ đề $1$:
`(x-y)^3\ \vdots\ 3 =>(x-y)\ \ vdots\ 3\quad (x;y\inZ)`
Đặt : $a=x-y$; `x;y\inZ=>a\in Z`
Giả sử $a^3$ chia hết $3$ và $a$ không chia hết 3.
+) Nếu $a$ chia $3$ dư $1$ `=>a=3k+1\quad(k\inZ)`
`=>a^3=27k^3 +27k^2+9k+1` không chia hết $3$.
`=>` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$
+) Nếu $a$ chia $3$ dư $2$ `=>a=3k+2\quad(k\inZ)`
`=>a^3=27k^3 +54k^2+36k+8` không chia hết $3$.
`=> ` mâu thuẫn với giả thiết $a^3$ chia hết $3$
Do đó $a$ chia hết cho $3$.
Vậy bổ đề được chứng minh.
