Câu 1.

`A(6;0);B(3;1);C(-1;-1)`

`=>AB=\sqrt{(3-6)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}`

`\qquad BC=\sqrt{(-1-3)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{5}`

`\qquad AC=\sqrt{(-1-6)^2+(-1-0)^2}=5\sqrt{2}`

Áp dụng định lý cos vào `∆ABC` ta có:

`AC^2 =AB^2+BC^2 -2.AB.BC.cosABC`

`<=>(5\sqrt{2})^2=10+(2\sqrt{5})^2-2.\sqrt{10}.2\sqrt{5}.cosABC`

`<=>20=-20\sqrt{2}.cosABC`

`=>cosABC=-1/ \sqrt{2}`

`=>\hat {ABC}=135°`

Vậy `hat {ABC}=135°`

Câu 2.

`x^2 -4|x|+4-m=0\  (1)`

Đặt `t=|x|\quad(t\ge 0)`

`(1)<=>t^2 -4t+4-m=0 \ (2)`

`∆'=b'^2 -ac=(-2)^2-(4-m)=m`

Để $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt thì $(2)$ phải có $1$ nghiệm dương hoặc có $2$ nghiệm trái dấu.

$⇒\left[\begin{array}{l}\begin{cases}∆'=0\\t=-\dfrac{b}{2a}>0\end{cases}\\ \begin{cases}∆'>0\\t_1 t_2 =\dfrac{c}{a}<0\end{cases}\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}m=0\\\dfrac{4}{2}=2>0\ (đúng)\end{cases}\\ \begin{cases}m>0\\4-m<0\end{cases}\end{array}\right.$

$⇔\left[\begin{array}{l}m=0\\ \begin{cases}m>0\\m>4\end{cases}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}m=0\\m>4\end{array}\right.$

Vì `m\in Z;m\in [-1;6]=>m\in {0;5;6}`

Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa đề bài là: `m\in {0;5;6}`

Câu 3. 

`ABCD` là hình chữ nhật:

`=> BC=AD=a; AB=2a`

`\quad \vec{CD}=-\vec{AB}`

`\quad ` $AB\perp {BC}$ `=>\vec{AB}.\vec{BC}=0`

$M$ là trung điểm $BC$ `=>\vec{BM}=1/ 2 \vec{BC}`

$N$ thuộc cạnh `CD` thỏa `CN = 1/8 CD`

`=>\vec{CN}=1/ 8 \vec{CD}`

Ta có: 

`\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}=\vec{AB}+1/ 2 \vec{BC}`

`\vec{BN}=\vec{BC}+\vec{CN}=\vec{BC}+1/ 8 \vec{CD}=\vec{BC}-1/ 8 \vec{AB}`

+)`\vec{AM}.\vec{BN}=(\vec{AB}+1/ 2 \vec{BC})(vec{BC}-1/ 8 \vec{AB})`

`=\vec{AB}.\vec{BC}-1/ 8 AB^2 + 1/ 2 BC^2 - 1/{16} \vec{BC}.\vec{AB}`

`=0- 1/ 8 .(2a)^2 + 1/ 2 .a^2+0`

`=-1/ 2 a^2+1/ 2 .a^2=0`

`=>\vec{AM}.\vec{BN}=0`

`=>` $BN \perp {AM}$ (đpcm)