Cho `a, b, c` là 3 cạnh của 1 tam giác. `p` là nửa chu vi. Chứng minh rằng $\dfrac{1}{p-a}$ + $\dfrac{1}{p-b}$ + $\dfrac{1}{p-c}$ $\geq$ `2(`$\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ + $\dfrac{1}{c}$` )`

TLinh

1 năm trước

Loga Sinh Học lớp 12

0 lượt thích 8 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

217155833183315

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$\dfrac{1}{p-a} +\dfrac{1}{p-b}\geq \dfrac{(1+1)^2}{p - a + p - b}=\dfrac{4}{c}$

Tương tự, ta được:

$\dfrac{1}{p-b} +\dfrac{1}{p-c}\geq\dfrac4a$

$\dfrac{1}{p-c} +\dfrac{1}{p-a}\geq\dfrac4b$

Cộng vế theo vế ta được:

$2\left(\dfrac{1}{p-a} +\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\right)\geq 4\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)$

Do đó:

$\dfrac{1}{p-a} +\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\geq 2\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Vote (0) Phản hồi (0) 1 năm trước

buitrinh492

Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\a+c>b\\\end{cases}\\→p-a=\dfrac{a+b+c}{2}-a\\=\dfrac{b+c-a}{2}>0\\→p-a>0\\CMTT:\begin{cases}p-b>0\\p-c>0\\\end{cases}\\\text{áp dụng BĐT svacxo với 2 số dương ta có}\\\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \geq \dfrac{4}{2p-a-b}=\dfrac{4}{c}\\CMTT:\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \geq \dfrac{4}{2p-b-c}=\dfrac{4}{a}\\\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a} \geq \dfrac{4}{2p-c-a}=\dfrac{4}{b}→2(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}) \geq 4(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})\\→\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \geq 2(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})(ĐPCM)\\\underline{\text{CHÚC BẠN HỌC TỐT}}\\\end{array}$

Vote (0) Phản hồi (0) 1 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số y = f(x) = (m+1)x. Tìm m để f(2) = 4. Vẽ đồ thị hàm số với m tìm được.

câu 1;ba điện trợ r1=3,r2=6,r3=6 mắc nối tiếp có diện trở tương đương bằng câu 2 ;một bình điện phân chứa dd agno3 có anot bằng ag biết bạc có A=108,n=1 hằng số faraday =96500 c/mol.Khối lượng bạc bám vào cực âm khi cho điện phân 2a qua bình sau 45 phút 50 giây

Mấy bạn điền đúng giúp mình vào chỗ chấm ạ. Cảm ơn

Ai bt bài văn tiếng anh tả gia đình,bản thân mk , về trường học ko ạ

Các bạn giải giúp mình phần e thôi nhé! Mình đăng lần này là lần 2 rồi nên rất mong các bạn giúp mình!!!

Write a paragraph inviting your friend to your brithday party

Qua đoạn thơ Qua Đèo Ngang, em hãy viết đoạn văn ngắn nêu cảm nhận tình cảm của tác giả gửi gắm qua đoạn thơ đó lưu ý : không chép mạng ạ

Nhận dạng chi tiết cấu tạo ngoài cơ thể nhện giúp mik với mn ơi :(

Từ 1 công thức này : R=p.l/s ta suy ra được 3 công thức còn lại:

viết lại câu vs từ cho sẵn trong (...) Mn giúp e vs ạ

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến