a) Áp dụng bđt: `a/b<(a+m)/(b+m)` với `a/b<1` và `m>0`
Ta có: `a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c)` (do `a/(a+b)<1`)
Tương tự: `b/(b+c)<(a+b)/(a+b+c)` và `(c+b)/(a+b+c)`
Cộng theo vế: `a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)`
`<(a+c)/(a+b+c)+(a+b)/(a+b+c)+(b+c)/(a+b+c)=[2(a+b+c)]/(a+b+c)=2`
Vậy bđt được CM
b) Áp dụng bđt `Cauchy-schwarz` dạng $Engel$
Ta có: `VT=a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)`
`=a^2/(ab+ac)+b^2/(ab+bc)+c^2/(ac+bc)`
`≥(a+b+c)^2/[2(ab+bc+ca)]`
Mà `(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)`
`⇔VT≥[3(ab+bc+ca)]/[2(ab+bc+ca)]=3/2`
Dấu `=` xảy ra `⇔a=b=c`
Vậy bđt được CM
