`\quad \sqrt{x-1}(x^2+m)=3x\sqrt{x-1}\ (1)`
`ĐK: x-1\ge 0<=>x\ge 1`
`(1)<=>\sqrt{x-1}.(x^2-3x+m)=0`
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\sqrt{x-1}=0\\x^2-3x+m=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1\\x^2-3x+m=0\ (2) \end{array}\right.$
Để $(1)$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt thì $(2)$ có 1 nghiệm $x>1$ hoặc có $2$ nghiệm $x_1;x_2$ thỏa: $x_1 \le 1<x_2$
`\qquad x^2-3x+m=0`
`∆=b^2-4ac=9-4m`
*$TH1:$
$\begin{cases}∆=0\\x=\dfrac{-b}{2a}>1\end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases}9-4m=0\Rightarrow m=\dfrac{9}{4}\\ \dfrac{3}{2}>1\ (đúng)\end{cases}$
$\Rightarrow m=\dfrac{9}{4}$
*$TH2:$
$\begin{cases}∆>0\\x_1\le 1<x_2\end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}9-4m>0\Rightarrow m<\dfrac{9}{4}\\(x_1-1)(x_2-1)\le 0\ (2)\end{cases}$
Áp dụng định lý Viet ta có:
`x_1+x_2={-b}/a=3`
`x_1x_2=c/a=m`
`(2)<=>x_1x_2-(x_1+x_2)+1\le 0`
`<=>m-3+1\le 0<=>m\le 2`
$\begin{cases}m<\dfrac{9}{4}\\m\le 2\end{cases} \Rightarrow m\le 2$
Vậy `m\in (-∞;2]∪{9/4}` thì phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt.
