Đáp án:
\(\left\{ \begin{array}{l}
a = - 7\\
b = 6
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
\(1)Do:A\left( x \right) \vdots B\left( x \right)\)
⇔ \(x = - \dfrac{1}{2}\) là nghiệm của phương trình \(6{x^3} - 7x - x + a = 0\)
Thay \(x = - \dfrac{1}{2}\) vào phương trình \(6{x^3} - 7x - x + a = 0\) ta được
\(\begin{array}{l}
6{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)^3} - 7\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + a = 0\\
\to a = - \dfrac{{13}}{4}
\end{array}\)
b) Để P(x) chia hết cho Q(x)
⇔ Nghiệm của \({x^2} - 3x + 2 = 0\) là nghiệm của phương trình \({x^3} + ax + b = 0\)
Có:
\(\begin{array}{l}
{x^2} - 3x + 2 = 0 \to {x^2} - x - 2x + 2 = 0\\
\to x\left( {x - 1} \right) - 2\left( {x - 1} \right) = 0\\
\to \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Thay \(\left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.\) vào phương trình \({x^3} + ax + b = 0\) ta được
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{1^3} + a + b = 0\\
{2^3} + 2a + b = 0
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
a + b = - 1\\
2a + b = - 8
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
b = - 1 - a\\
2a - 1 - a = - 8
\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}
a = - 7\\
b = 6
\end{array} \right.
\end{array}\)
