Đáp án:
$(x,y,z) \in \left\{ (0,0,0), \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2} \right) \right\}$.
Giải thích các bước giải:
Câu 9
TH1: $x + y + z = 0$
Từ đó ta có
$\dfrac{x}{y + z + 1} = \dfrac{y}{x + z + 1} = \dfrac{z}{x + y - 2} = 0$
Suy ra $(x,y,z) = (0,0,0)$.
TH2: $x + y + z \neq 0$
Ta có
$\dfrac{x}{y + z + 1} = \dfrac{y}{x + z + 1} = \dfrac{z}{x + y - 2}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$x + y + z = \dfrac{x}{y + z + 1} = \dfrac{y}{x + z + 1} = \dfrac{z}{x + y - 2} = \dfrac{x + y + z}{2x + 2y + 2z + 1 + 1 - 2} = \dfrac{1}{2}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau một lần nữa ta có
$\dfrac{x}{y + z + 1} = \dfrac{y}{x + z + 1} = \dfrac{x-y}{y + z + 1 - x - z - 1} = \dfrac{x-y}{y-x} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$
Suy ra $x = y$
Từ đó suy ra
$\dfrac{x}{x + z + 1} = \dfrac{z}{2x - 2} = 2x + z = \dfrac{1}{2}$
Áp dụng tchat dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\dfrac{2x+z}{1} = \dfrac{z}{2x-2} = \dfrac{2x + z - z}{1 - 2x + 2} = \dfrac{2x}{3 - 2x} = \dfrac{1}{2}$
Dấu bằng ở đẳng thức cuối suy ra
$\dfrac{2x}{3-2x} = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 4x = 3-2x$
$\Leftrightarrow 6x = 3$
$\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$
Suy ra $y = \dfrac{1}{2}$. Lại có
$x + y + z =\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + z = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow z = -\dfrac{1}{2}$
Vậy $(x,y,z) = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2} \right)$.
