a,
$SA\bot (ABCD)$
$\Rightarrow SA\bot AB, SA\bot AD$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $A$ có $AH$ trung tuyến nên cũng là đường cao.
$\Rightarrow SB\bot AH$ (1)
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $BD=a\sqrt2$
$SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt2$
$\Delta SBD$ cân tại $D$ có $DH$ là trung tuyến nên cũng là đường cao.
$\Rightarrow SB\bot DH$ (2)
(1)(2) $\Rightarrow SB\bot (DAH)$
$\Delta SBD$ có $OM$ là đường trung bình nên $OM//SB$
Vậy $OM\bot (ADH)$
b,
$(\alpha)$ là $(ADH)$
Có $AD//BC$
$\Rightarrow (ADH)\cap (SBC)=Hx//BC$
$Hx\cap SC=K$
Vậy thiết diện là tứ giác $HKDA$
$HK//BC$, $H$ là trung điểm $SB$ nên $HK$ đường trung bình $\Delta SBC$
$\Rightarrow HK=0,5a$
$\Delta SAB$ vuông cân tại $A$, $AH$ trung tuyến.
$\Rightarrow AH=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a\sqrt2}{2}$
Có $DA\bot AS, DA\bot AB$
$\Rightarrow DA\bot (SAB)$
$\Rightarrow HA\bot AD$
Vậy $HKDA$ là hình thang vuông tại $H$ và $A$ ($HK//AD$)
$\Rightarrow S_{HKDA}=\dfrac{1}{2}.\Big(0,5a+a).\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{3a^2\sqrt2}{8}$
