Đáp án:
$B$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1;{u_2} = 2\\
{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + {u_{n - 1}}}}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1;{u_2} = 2\\
2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n - 1}}
\end{array} \right.
\end{array}$
Dựa vào công thức ta có:
$\begin{array}{l}
2{u_3} = {u_2} + {u_1}\\
2{u_4} = {u_3} + {u_2}\\
...\\
2{u_n} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 2}}\\
2{u_{n + 1}} = {u_n} + {u_{n - 1}}\\
\Rightarrow 2\left( {{u_3} + {u_4} + ... + {u_{n + 1}}} \right) = {u_1} + 2{u_2} + 2{u_3} + ... + 2{u_{n - 1}} + {u_n}\\
\Rightarrow 2{u_{n + 1}} + {u_n} = {u_1} + 2{u_2}\\
\Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}{u_n}\left( * \right)
\end{array}$
Lại có:
Xét dãy sau $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = {u_n} - \dfrac{5}{3}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2}\left( {{v_n} + \dfrac{5}{3}} \right)\\
\Leftrightarrow {v_{n + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}{v_n}
\end{array}$
$ \Rightarrow \left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân công bội $q = \dfrac{{ - 1}}{2}$
Mặt khác:
$\begin{array}{l}
{v_1} = {u_1} - \dfrac{5}{3} = 1 - \dfrac{5}{3} = \dfrac{{ - 2}}{3}\\
\Rightarrow {v_{1000}} = {v_1}.{q^{999}} = \left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right).{\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)^{999}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{998}}}}\\
\Rightarrow {u_{1000}} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{998}}}}\\
\Rightarrow {u_{1000}} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{{{{3.2}^{998}}}}
\end{array}$
Vậy ${u_{1000}} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{{{{3.2}^{998}}}}$
