Đáp án:

Gọi tổng số con vịt là `a`  (con ; `a ∈ NN`*` ; a < 200)`

Theo bài ra, khi:

- Xếp hàng `2` thì chưa vừa `=>` `a`   $\not\vdots$  `2` hay `a` lẻ.

- Xếp hàng `3` thì thừa `1` con `=>` `a` chia `3` dư `1`.        `(1)`

- Xếp hàng `4` chưa tròn `=> a` chia `4` được một số dư `r`.

Mặt khác, `a` lẻ  (lập luận trên) `=> r ∈ { 1 ; 3 }`

- Xếp hàng `5` thì thiếu `1` con mới đầy `=> a` chia `5` dư `4`

Mà `a` lẻ nên `a` có tận cùng bằng `9`.                 `(2)`

- Xếp thành hàng `7` đẹp `=> a \vdots 7`      

`=> a = 7k`  `(k ∈ NN`*` ; 0 < k < 29)`

Từ `(2)` `=> k` có tận cùng bằng `7`.

`=> k ∈ { 7 ; 17 ; 27 }`

+) Với `k = 7` thì `a = 7 . 7 = 49`       (thỏa mãn)

+) Với `k = 17` thì `a = 7 . 17 = 119`    (không thỏa mãn vì trái với `(1)`)

+) Với `k = 27` thì `a = 7 . 27 = 189`    (không thỏa mãn vì trái với `(1)`)

Vậy có `49` con vịt.

Giải thích các bước giải:

- Phép chia hết và phép chia có dư.

Gọi số vịt cần tìm là $x$

Theo bài ra ta có :

Hàng $2$ xếp thấy chưa vừa

⇒ $\ x$ $\not\vdots$ $2$

⇒ $x$ là số lẻ

Hàng $4$ xếp cũng chưa tròn

⇒ $x$ chia cho $4$ còn dư $\ 1; 2; 3$ mà $x$ lẻ

⇒ $x$ chia cho $4$ dư $1$ hoặc $3$

Hàng $5$ xếp thiếu một con mới đầy

⇒ $(x + 1)$ $\vdots $5$

⇒ $x$ chia cho $5$ dư 4 hoặc 9 mà $x$ là số lẻ

⇒ $x$ chia cho $5$ dư 9

Xếp thành 7 hàng đẹp thay

⇒ $x$ $\vdots$ $7$

⇒ $\ x = 7k$ $\ (k ∈ N)$

Vì $x$ có tận cùng là $9$ nên $k$ có tận cùng là $7$ (do $\ 7 . 7 = 49$)

Mà $k < 37$ vì $\ 7 . 37 = 259 > 200$

⇒ $\text{k ∈ { 7 ; 17 ; 27 }}$

Thử lại các điều kiện của đề bài ta thấy chỉ có $\ k = 7$ thỏa mãn

Do đó $\ x = 7 . 7 = 49$

Vậy số vịt là $49$ con