Gọi $ƯCLN(3n+5;n+1)=d$
`=> 3n+5` chia hết cho $d$
`\qquad n+1` chia hết cho $d$
`=>3(n+1)` chia hết cho $d$
`=>3n+5-3(n+1)` chia hết cho $d$
`=>3n+5-3n-3=2` chia hết cho $d$
`=> d\in Ư(2)={1;2} `
Để $3n+5$ và $n+1$ nguyên tố cùng nhau thì $d\ne 2$
`=>3n+5` và $n+1$ không chia hết cho $2$
`=>3n+5` và $n+1$ là số lẻ
Vì $5$ và $1$ là số lẻ
`=>3n` và $n$ là số chẵn
`=>n` là số chẵn.
Vậy $n$ là số chẵn thì $3n+5$ và $n+1$ nguyên tố cùng nhau.
