a) Chứng minh $AM$ là trung trực của $BC$
Xét $∆ABM$ và $∆ACM$ có:
$AB = AC\quad (gt)$
$AM:$ cạnh chung
$MB = MC\quad (gt)$
Do đó $∆ABM=∆ACM\, (c.c.c)$
$\to \widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^\circ$ (hai góc kề bù)
nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^\circ$
$\to AM\perp BC$
Lại có: $MB = MC =\dfrac12BC\quad (gt)$
Do đó $AM$ là trung trực của $BC$
b) Ta có:
$∆ABM=∆ACM$ (câu a)
$\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}$ (hai góc tương ứng)
mà $\widehat{MAB} +\widehat{MAC}=\widehat{BAC}$
nên $AM$ là phân giác trong của $\widehat{BAC}$
$\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\dfrac12\widehat{BAC}$
Mặt khác:
Gọi $CAy$ là góc ngoài tại đỉnh $A$ có $Ax$ là tia phân giác
$\to \widehat{CAx}=\dfrac12\widehat{CAy}$
$\to \widehat{MAC}+\widehat{CAx}=\dfrac12\widehat{BAC}+\widehat{CAy}$
$\to \widehat{MAx}=\dfrac12(\widehat{BAC}+\widehat{CAy})$
$\to \widehat{MAx}=\dfrac12\cdot 180^\circ= 90^\circ$
$\to Ax\perp AM$
Ta lại có:
$AM\perp BC$ (câu a)
nên $Ax//BC\quad (\perp AM)$
