Đáp án: `(x;y)∈{(-3-2\sqrt{2};1+\sqrt{2});(-3+2\sqrt{2};1-\sqrt{2});(-3-\sqrt{5};\frac{1+\sqrt{5}}{2});(-3+\sqrt{5};\frac{1-\sqrt{5}}{2})}`
Giải thích các bước giải:
$\large \left \{ {{x^2+2xy+2y^2+3x=0(*)} \atop {xy+y^2+3y+1=0}} \right.⇔\large \left \{ {{x^2+2xy+2y^2+3x=0} \atop {2xy+2y^2+6y+2=0}} \right.$
Cộng $2$ phương trình theo vế ta được:
$(x^2+2xy+2y^2+3x)+(2xy+2y^2+6y+2)=0$
$⇔(x^2+4xy+4y^2)+(3x+6y)+2=0$
$⇔(x+2y)^2+3(x+2y)+2=0$
$⇔(x+2y+1)(x+2y+2)=0$
$⇔\left[ \begin{array}{l}x+2y+1=0\\x+2y+2=0\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}x=-2y-1\\x=-2y-2\end{array} \right.$
-Nếu $x=-2y-1$ thế vào $(*)$ ta được:
$(-2y-1)^2+2(-2y-1)y+2y^2+3(-2y-1)=0$
$⇔4y^2+4y+1-4y^2-2y+2y^2-6y-3=0$
$⇔2y^2-4y-2=0⇔y^2-2y-1=0$
$⇔y^2-2y+1=2⇔(y-1)^2=2$
$⇔y-1=±\sqrt{2}⇔y=1±\sqrt{2}$
+Nếu $y=1+\sqrt{2}⇒x=-2.(1+\sqrt{2})-1=-3-2\sqrt{2}$
+Nếu $y=1-\sqrt{2}⇒x=-2.(1-\sqrt{2})-1=-3+2\sqrt{2}$
-Nếu $x=-2y-2$ thế vào $(*)$ ta được:
$(-2y-2)^2+2(-2y-2)y+2y^2+3(-2y-2)=0$
$⇔4y^2+8y+4-4y^2-4y+2y^2-6y-6=0$
$⇔2y^2-2y-2=0⇔y^2-y-1=0$
`⇔y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}⇔(y-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}`
`⇔y-\frac{1}{2}=±\frac{\sqrt{5}}{2}⇔y=\frac{1±\sqrt{5}}{2}`
+Nếu `y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}⇒x=-2.\frac{1+\sqrt{5}}{2}-2=-3-\sqrt{5}`
+Nếu `y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}⇒x=-2.\frac{1-\sqrt{5}}{2}-2=-3+\sqrt{5}`
