Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$\widehat {HEC} + \widehat {HIC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$
$ \Rightarrow HECI$ là tứ giác nội tiếp.
$ \Rightarrow \widehat {CHI} = \widehat {CEI}\left( 1 \right)$
Lại có:
$\widehat {AIB} = \widehat {AEB} = {90^0}$
$ \Rightarrow AEIB$ là tứ giác nội tiếp
$ \Rightarrow \widehat {CEI} = \widehat {ABC}\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {CHI} = \widehat {ABC}$
b) Gọi $OC\cap EI=F$; $AO\cap (O)=G(G\ne A)$; $HG\cap BC=D$
Ta có:
$\widehat{ABG}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$
$\to AB\bot BG$
Khi đó:
$CH\bot AB; BG\bot AB$ $\to BG//CH$
Tương tự $BH//CG$
$\to BHCG$ là hình bình hành.
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {BCH} = \widehat {GBC}\\
\Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {GAC}\\
\Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {OAC}\\
\Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {OCA}\\
\Rightarrow \widehat {ICH} = \widehat {FCE}
\end{array}$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ICH} = \widehat {FCE}\\
\widehat {CHI} = \widehat {CEF}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta CHI \sim \Delta CEF\left( {g.g} \right)\\
\Rightarrow \widehat {CIH} = \widehat {CFE}\\
\Rightarrow \widehat {CFE} = {90^0}\\
\Rightarrow CF \bot EI\\
\Rightarrow EI \bot OC
\end{array}$
c) Xét $\Delta ABG;\widehat {ABG} = {90^0};\widehat {AGB} = \widehat {ACB} = {60^0};BG = CH = 5cm$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow AG = \dfrac{{BG}}{{\cos \widehat {AGB}}} = \dfrac{5}{{\cos {{60}^0}}} = 10cm\\
\Rightarrow 2AO = 10cm\\
\Rightarrow AO = 5cm
\end{array}$
Vậy $AO=5cm$
