Đáp án:
`M_{max}=9/ 2` khi `x=1;y=2`
Giải thích các bước giải:
Vì `1\le x<y\le 2`
`=>1<y/x\le 2`
Ta có:
`M=(x+y)(1/x+1/y)`
`M=1+x/y+y/x+1`
`M=2+x/y+y/x`
Đặt `a=y/x\ (1<a\le 2)`
`=>x/y+y/x=1/a+a={a^2+1}/a`
Ta có:
`\qquad 5/ 2 - {a^2+1}/a`
`={5a-2a^2-2}/a`
`={-2a^2+4a+a-2}/a`
`={-2a(a-2)+(a-2)}/a`
`={-(a-2)(2a-1)}/a`
`={(2-a)(2a-1)}/a \ge 0` với mọi `a` thỏa `1<a\le 2`
`=>5/ 2 \ge {a^2+1}/a`
`=>2+{a^2+1}/a \le 2+5/ 2 =9/ 2`
`=>M\le 9/ 2`
Dấu "=" xảy ra khi `(2-a)(2a-1)=0`
`<=>`$\left[\begin{array}{l}a=2\\a=\dfrac{1}{2}\ (loại)\end{array}\right.$
`a=2<=>y/x=2<=>y=2x`
Vì `x\ge 1=>2x\ge 2=>y\ge 2`
Mà `y\le 2`
`=>y=2=>x=1`
Vậy $GTLN$ của $M$ bằng `9/ 2` khi `x=1;y=2`
