Giải:
Hình bạn tự vẽ nhé.
a) Ta có: `AB² + BC² = 6² + 8² = 100`
`AC² = 10² = 100`
`=> AB² + BC² = AC²`
`=>` Tam giác ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo) (đpcm)
b) Ta có: DE _|_ AC tại E `=>` Góc AED = 90 độ
tam giác ABC vuông tại B (chứng minh trên) `=>` Góc ABC = 90 độ
=> Góc AED = góc ABC = 90 độ
Xét tam giác ABD và tam giác ADE có:
Góc AED = góc ABC = 90 độ (chứng minh trên)
Góc BAD = góc DAE (vì AD là tia phân giác của góc A)
AD là cạnh chung
`=>` Tam giác ABD = tam giác AED (cạnh huyền - góc nhọn)
`=> AB = AE` (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
c) Ta có: tam giác ABD = tam giác AED (chứng minh trên)
=> BD = DE (2 cạnh tương ứng)
Lại có: Góc CED = 90 độ (vì DE _|_ AC tại E)
DB _|_ AK tại B `=>` Góc DBK = 90 độ
=> Góc CED = góc DBK
Xét tam giác BDK và tam giác CDE có:
Góc BDK = góc CDE (2 góc đổi đỉnh)
BD = DE (chứng minh trên)
Góc CED = góc DBK (chứng minh trên)
`=>` Tam giác BDK = tam giác EDC (g.c.g)
`=> BK = CE` (2 cạnh tương ứng)
Mà AB = BE (chứng minh trên)
`=> AB + BK = AE + CE`
`=> AK = AC`
`=>` Tam giác ACK cân tại A (dấu hiệu nhận biết) (đpcm)
d) Vì M là trung điểm của CK `=> KM = CM`
Xét tam giác AKM và tam giác ACM có:
AK = AC (chứng minh trên)
AM là cạnh chung
KM = CM (chứng minh trên)
`=>` Tam giác AKM = tam giác ACM (c.c.c)
`=>` Góc AMK = góc AMC
Mà góc AMK + góc AMC = 180 độ (2 góc kề bù)
`=>` Góc AMK = góc AMC = 180 độ : 2 = 90 độ
`=>` AM _|_ CK tại M (1)
Ta có: tam giác BDK = tam giác EDC (chứng minh trên)
`=> DK = CD` (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác DKM và tam giác CDM có:
DM là cạnh chung
DK = CD (chứng minh trên)
KM = CM (chứng minh trên)
`=>` Tam giác DKM = tam giác DCM (c.c.c)
`=>` Góc DMK = góc CMD (2 góc tương ứng)
Lại có: góc DMK + góc CMD = 180 độ (2 góc kề bù)
`=>` Góc DMK = góc CMD = 180 độ : 2 = 90 độ
`=>` DM _|_ CK tại M (2)
Từ (1), (2) => 3 điểm A, D, M thẳng hàng (đpcm)
Chúc bạn học tốt!