bài 2
a)có tam giác ABC cân tại A(gt)
=>AB=AC=5(cm)
có tam giác ABC cân tại A(gt)
AM là phân giác góc BAC(gt)
=>AM là đường cao ;AM là trung tuyến tam giác ABC
=>M là trung điểm BC
=>BM=CM=BC/2=6/2=3(cm)
Xét tam giác AMC vuông tại M có
AM^2+MC^2=AC^2(định lý pytago)
mà MC=3(cm);AC=5(cm)
=>AM^2+3^2=5^2
=>AM^2=25-9=16
=>AM=4(cm)
=>S ABC=1/2.BC.AH=1/2.6.4=12(cm^2)
b)Xét tứ giác AMCK có
O là trung điểm AC(gt)
O là trung điểm MK(M đối xứng với K qua O)
=>AMCK là hình bình hành
=>AK//MC
c)có AMCK là hình bình hành(câu b)
mà AM vuông góc với BC(câu a)
=>AMCK là hình chữ nhật
d)AMCK là hình vuông<=>AM=MC
<=>AM=MC=BM
<=>tam giác ABC vuông cân tại A(trung tuyến thuộc cạnh huyền)
bài 3
giải
a)tam giác ABC có AH vuông góc với BC(gt)
=>S ABC=1/2.AH.BC
có tam giác ABC vuông tại A(gt)
=>S ABC=1/2.AB.AC
=>1/2.AH.BC=1/2.AB.AC
=>AH.BC=AB.AC
b)Xét tứ giác ANMP có
NAM=90 độ(tam giác ABC vuông tại A)
ANM=90 độ(MN vuông góc với AB)
APM=90 độ(MP vuông góc với AC)
=>ANMP là hình chữ nhật
c)
d)có ANMP là hình chữ nhật(câu b)
=>AM=NP
Có tam giác AHM vuông tại H
=>AH<AM(đường vuông góc<đường xiên)
=>AM ngắn nhất khi M trùng H
hay NP ngắn nhất khi M trùng H
bài 4
giải
1)Xét tứ giác ADHE có
ADH=90 độ(DH vuông góc với AB)
AEH=90 độ(DE vuông góc với AC)
DAE= 90 độ(tam giác ABC vuông tại A)
=>AHDE là hình chữ nhật
=>AH=DE
2)
a)có ADHE là hình chữ nhật
=>AH cắt DE tại TĐ mỗi đường
mà AH giao DE ở O(gt)
=>O là trung điểm AH
Xét tam giác AHC có
O là trung điểm AH(cmt)
Q là trung điểm HC(gt)
=>OQ là đường trung bình tam giác AHC
=>OQ//AC
mà AC vuông góc với AB(tam giác ABC vuông tại A)
=>OQ vuông góc với AB
Xét tam giác ABP có
AH vuông góc với BQ(gt)
OQ vuông góc với AB(cmt)
OQ cắt AH tại O
=>O là trực tâm tam giác ABQ
b)Xét tam giác EHC vuông tại E có
Q là trung điểm HC(gt)
=>EQ=HQ=QC(trung tuyến thuộc cạnh huyền)
chứng minh tương tự có DP=PH=BP
có DPQE là hình thang(cmt)
=>S DPQE=1/2.DE.(EQ+DP)
=1/2.DE.(HQ+PH)=1/2.DE.PQ
=>2S DPQE=DE.PQ
S ABC=1/2.AH.BC
mà AH=DE(cmt);1/2BC=PQ
=>S ABC=DE.PQư
=>2S DPQE=S ABC
bài 5
giải
a)có BH vuông góc với AC(H là trực tâm tam giác ABC)
CD vuông góc với AC(gt)
=>BH//CD
chứng minh tương tự có HC//DB
Xét tứ giác BHCD có BH//CD(cmt)
HC//BD(cmt)
=>BHCD là hình bình hành
b)có BHCD là hình bình hành(câu a)
=>BC cắt HD tại TĐ mỗi đường
mà M là trung điểm BC(gt)
=>M là trung điểm HD
Xét tam giác AHD có O là trung điểm AD(gt)
M là trung điểm HD(cmt)
=>OM là đường trung bình tam giác AHD
=>OM=1/2AH
=>2OM=AH
c)
bài 6
giải
a)Xét tam giác PAM vuông tại A và tam giác MBC vuông tại B có
MA=MB(M là trung điểm AB)
PMA=BMC(đối đỉnh)
=>tam giác PMA=tam giác CMB(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
PA=BC(cạnh tương ứng)
Xét tứ giác PACB có
PA//BC(cùng vuông góc với AB)
PA=BC(cmt)
=>PACB là hình bình hành
Xét tứ giác BCDP có
BC//DP(BC//PA)
=>BCDP là hình thang
b)có BCDP là hình thang(cmt)
=>S BCDP=1/2.AB.(BC+PD)=1/2.BC.(AP+AD+BC)=1/2.BC.3BC=3/2.BC^2
=>2S BCDP=2.3/2.BC^2=3BC^2
có PABC là hình bình hành(câu a)
=>S PABC=AB.CB=BC.BC=BC^2
=>3S PACB=3BC^2
=>3S PACB=2S BCDP
c)
bài 7
giải
có AC=AN+NC
mà AC=9;AN=5
=>NC=AC-AN=9-5=4
Xét tam giác ABC có MN//BC
=>AM/x=AN/NC(định lý talet)
=>3/x=5/4
=>x=3.4/5=12/5
