Đáp án + giải thích các bước giải:
Đặt `(a,b,c)=(x-2,y-2,z-2)`
`->1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)=1`
`->1/(a+2)=1-1/(b+2)-1/(c+2)=1/2-1/(b+2)+1/2-1/(c+2)=b/(2(b+2))+c/(2(c+2))`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`b/(2(b+2))+c/(2(c+2))>=2\sqrt{(bc)/(4(b+2)(c+2))}=\sqrt{(bc)/((b+2)(c+2))`
Tương tự, có:
`1/(a+2) . 1/(b+2) . 1/(c+2)>=\sqrt{(bc)/((b+2)(c+2))}.\sqrt{(ac)/((a+2)(c+2))}.\sqrt{(ab)/((a+2)(b+2))}`
`->1/((a+2)(b+2)(c+2))>=\sqrt{(abc)^2/[(a+2)(b+2)(c+2)]^2}=(abc)/((a+2)(b+2)(c+2))`
`->1>=abc`
`->(x-2)(y-2)(z-2)<=1`
Dấu bằng xảy ra khi $ \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\\\dfrac{b}{b+2}=\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a}{a+2} \end{matrix}\right. \rightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}$
