Đáp án: $0<a\le \dfrac94$
Giải thích các bước giải:
Từ bất phương trình
$\to -1<\dfrac{x^2+4x+2a-1}{2x^2-x+1}\le 1$
Vì $2x^2-x+1=2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}>0$
$\to -(2x^2-x+1)<x^2+4x+2a-1\le 2x^2-x+1$
$\to\begin{cases}-(2x^2-x+1)<x^2+4x+2a-1\\x^2+4x+2a-1\le 2x^2-x+1\end{cases}$
$\to\begin{cases}3x^2+3x+2a>0(1)\\ x^2-5x-2a+2\ge 0(2)\end{cases}$
Giải $1$ ta có:
$3x^2+3x+2a>0$
$\to -2a<3x^2+3x$
$\to -\dfrac23a<x^2+x$
$\to -\dfrac23a+\dfrac14<x^2+x+\dfrac14$
$\to -\dfrac23a+\dfrac14<(x+\dfrac12)^2$
Lại có: $x\in[-1,2]$
$\to -1\le x\le 2$
$\to -\dfrac12\le x+\dfrac12\le \dfrac52$
$\to 0\le (x+\dfrac12)^2\le \dfrac{25}4$
$\to -\dfrac23a< 0$
$\to a>0$
Giải $2$ ta có:
$x^2-5x-2a+2\ge 0$
$\to x^2-5x\ge 2a-2$
$\to x^2-5x+\dfrac{25}{4}\ge 2a-\dfrac{17}{4}$
$\to (x-\dfrac52)^2\ge 2a-\dfrac{17}{4}$
Lại có: $x\in[-1,2]\to -1\le x\le 2$
$\to \dfrac14\le (x-\dfrac52)^2\le \dfrac{49}{4}$
$\to 2a-\dfrac{17}{4}\le \dfrac14$
$\to a\le \dfrac94$
Kết hợp cả $2$ trường hợp
$\to 0<a\le \dfrac94$
