+ Ta có: $\frac{a^{5} - a^{2}}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} = 1 - \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a^{5} + b^{2} + c^{2}}$.
+ Do đó: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} ≤ 3$.
$⇔ P = \frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} + \frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} + \frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} ≤ \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.
+ Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta được:
$(a^{5} + b^{2} + c^{2})(\frac {1}{a} + b^{2} + c^{2}) ≥ (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}$.
$⇒ \frac{1}{a^{5} + b^{2} + c^{2}} ≤ \frac{\frac {1}{a} + b^{2} + c^{2}}{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}$ .
+ Tương tự, ta có:
$\frac{1}{b^{5} + c^{2} + a^{2}} ≤ \frac{\frac {1}{b} + c^{2} + a^{2}}{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}$;
$\frac{1}{c^{5} + a^{2} + b^{2}} ≤ \frac{\frac {1}{c} + a^{2} + b^{2}}{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}$ .
+ Cộng ba bất đẳng thức này lại theo vế, ta được:
$P ≤ \frac{\frac {1}{a} + \frac {1}{b} + \frac {1}{c} + 2(a^{2} + b^{2} + c^{2})}{(a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2}}$ ≤ \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$.
$⇔ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≤ a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
+ Do: $abc ≥ 1$ và $ab + bc + ca ≤ a^{2} + b^{2} + c^{2}$ nên:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≤ \frac{abc}{a} + \frac{abc}{b} + \frac{abc}{c}$.
$⇔ ab + bc + ca ≤ a^{2} + b^{2} + c^{2}$ (đpcm).
+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = 1$.
XIN HAY NHẤT.
CHÚC EM HỌC TỐT.
HAPPY NEW YEAR.
