$E,F$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$
$\,\,\,\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\,\,+\,\,\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}$
$=\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} \right)\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} \right)\,\,+\,\,\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM} \right)\left( \overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM} \right)$
$=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right)+O{{M}^{2}}\,\,\,+\,\,\,\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM}\left( \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \right)+O{{M}^{2}}$
$=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \right)+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OD}+2O{{M}^{2}}$
$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{OM}\left( 2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF} \right)+\overrightarrow{0}+2O{{M}^{2}}$
$=\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{0}+2O{{M}^{2}}$
$=2O{{M}^{2}}$
$=2O{{E}^{2}}$
$=2.{{\left( \dfrac{EF}{2} \right)}^{2}}$
$=2{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}$
