Đáp án:

e) \(\dfrac{{4{x^2} - {y^2} - 14x - y + 12}}{{x - 2}} = 0\) là hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 2m\\
4x - my = m + 6
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2}x - my = 2{m^2}\\
4x - my = m + 6
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{m^2} - 4} \right)x = 2{m^2} - m - 6\\
y = mx - 2m
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {3m + 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}\\
y = mx - 2m
\end{array} \right.\\
a)Thay:m = 1\\
Hpt \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{3}\\
y =  - \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\\
 \to m \ne  \pm 2
\end{array}\)

Để phương trình có vô số nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to m - 2 = 0\\
 \to m = 2\\
Hpt \to \left\{ \begin{array}{l}
0x = 0\left( {ld} \right)\\
y = mx - 2m
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để phương trình vô nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to m + 2 = 0\\
 \to m =  - 2
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
c)\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {m - 2} \right)\left( {3m + 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}\\
y = mx - 2m
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\
y = m.\dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}} - 2m
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\
y = \dfrac{{3{m^2} + 2m - 2{m^2} - 4m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\
y = \dfrac{{{m^2} - 2m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
DK:m \pm  - 2\\
Do:6x - 2y = 13\\
 \to 6.\dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}} - 2.\dfrac{{{m^2} - 2m}}{{m + 2}} = 13\\
 \to \dfrac{{18m + 12 - 2{m^2} + 4m - 12m - 26}}{{m + 2}} = 0\\
 \to  - 2{m^2} + 10m - 14 = 0\\
 \to m \in \emptyset \\
e)\left\{ \begin{array}{l}
mx - y = 2m\\
4x - my = m + 6
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
mx - 2m = y\\
4x - my = m + 6
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 2} \right)m = y\\
4x - my = m + 6
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{y}{{x - 2}}\left( {DK:x \ne 2} \right)\\
4x - \dfrac{y}{{x - 2}}.y = \dfrac{y}{{x - 2}} + 6\left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \to \dfrac{{4{x^2} - 8x - {y^2} - y - 6x + 12}}{{x - 2}} = 0\\
 \to \dfrac{{4{x^2} - {y^2} - 14x - y + 12}}{{x - 2}} = 0
\end{array}\)

⇒ \(\dfrac{{4{x^2} - {y^2} - 14x - y + 12}}{{x - 2}} = 0\) là hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m