Giải thích các bước giải:
a.Ta có:
$8\equiv 1(mod 7)$
$\to 2^3\equiv 1(mod 7)$
$\to (2^3)^{664}\equiv 1(mod 7)$
$\to 2^{1992}\equiv 1(mod 7)$
$\to 2^{1992}\cdot 2^2\equiv 2^2(mod 7)$
$\to 2^{1994}\equiv 4(mod 7)$
$\to 2^{1994}$ chia $7$ dư $4$
b.Ta có:
$27\equiv 1(mod 13)$
$\to 3^3\equiv 1(mod 13)$
$\to (3^3)^{666}\equiv 1(mod 13)$
$\to 3^{1998}\equiv 1(mod 13)(1)$
Lại có:
$25\equiv -1(mod 13)$
$\to 5^2\equiv -1(mod 13)$
$\to (5^2)^{999}\equiv (-1)^{999}(mod 13)$
$\to 5^{1998}\equiv -1(mod 13)(2)$
Từ $(1), (2)$
$\to 3^{1998}+5^{1998}\equiv 1+(-1)\equiv 0(mod 13)$
$\to 3^{1998}+5^{1998}$ chia $13$ dư $0$
c.Ta chứng minh:
$C=1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2(*)$
Với $n=1\to 1^3=1^2$ đúng
Giả sử $(*)$ đúng với $n=k$
$\to 1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2$
Ta chứng minh $(*)$ đúng với $n=k+1$
Thật vậy ta có:
$1^3+2^3+...+(k+1)^3=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(1+2+...+k)^2+(k+1)^3$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(\dfrac{k(k+1)}{2})^2+(k+1)^3$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(k+1)^2\cdot \dfrac{k^2}{4}+(k+1)^3$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(k+1)^2\cdot (\dfrac{k^2}{4}+(k+1))$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(k+1)^2\cdot \dfrac{k^2+4k+4}{4}$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(k+1)^2\cdot \dfrac{(k+2)^2}{4}$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=( \dfrac{(k+1)(k+2)}{2})^2$
$\to 1^3+2^3+...+(k+1)^3=(1+2+...+(k+1))^2$ đúng
$\to (*)$ luôn đúng
$\to A=1^3+2^3+...+99^3\quad\vdots\quad 1+2+3+..+99$
