Giải thích các bước giải:
a) Để biểu thức D xác định thì $x^3+x^2+x+1 \neq 0$
$\Leftrightarrow (x+1)(x^2+1) \neq 0$
$\Leftrightarrow x+1 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq -1$
Vậy điều kiện xác định của D là $x \neq -1$
b) Ta có $D=\frac{3(x+1)}{x^3+x^2+x+1}$
$\\$$= \frac{3(x+1)}{(x+1)(x^2+1)}= \frac{3}{x^2+1}$
Vậy $D= \frac{3}{x^2+1}$ với $x\neq 1$
d) Dễ thấy, $x^2+1 \geq 1 \forall x\neq -1$
$\Rightarrow \frac{3}{x^2+1} \leq 3$
Dấu "=" xảy ra khi $x^2+1=1 \Leftrightarrow x=0$
c) Ta có: $x^2+1 >0 \forall x\neq -1$
$\Rightarrow \frac{3}{x^2+1} >0 $
Suy ra $0<D \leq 3$
Để D nhận giá trị nguyên thì $D\in \left\{1;2;3 \right\}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{x^2+1} \in \left\{1;2;3 \right\} $
$\Leftrightarrow x^2+1 \in \left\{3; \frac{3}{2}; 1 \right\} $
$\Leftrightarrow x^2 \in \left\{2; \frac{1}{2}; 0 \right\} $
$\Rightarrow x\in\left\{\pm\sqrt{2};\frac{\pm\sqrt{2}}{2};0 \right\}$
