a)
$ABCD$ là hình thoi
$\to AC\bot BD$ tại $O$
$\to \widehat{BOC}=90{}^\circ $
Ta có:
$CK\,\,||\,\,BD$ ( gt )
$AC\bot BD$ ( vì $ABCD$ là hình thoi )
$\to CK\bot AC$
$\to \widehat{KCO}=90{}^\circ $
Ta có:
$BK\,\,||\,\,AC$ ( gt )
$BD\bot AC$ ( vì $ABCD$ là hình thoi )
$\to BK\bot BD$
$\to \widehat{KBO}=90{}^\circ $
Xét tứ giác $OBKC$, ta có:
$\widehat{KCO}=90{}^\circ \,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\widehat{KBO}=90{}^\circ \,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\widehat{BOC}=90{}^\circ \,\,\,\left( cmt \right)$
$\to OBKC$ là hình chữ nhật
b)
Vì $OBKC$ là hình chữ nhật
$\to BK=OC$
Mà $OC=AO$ ( vì $ABCD$ là hình thoi )
Nên $BK=AO$
Xét tứ giác $ABKO$, ta có:
$BK=AO\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$BK\,\,||\,\,AO\,\,\,\left( \,gt\, \right)$
$\to ABKO$ là hình bình hành
$\to AB=OK$
c)
$OBKC$ là hình chữ nhật ( cmt )
Nên để $OBKC$ là hình vuông
Thì $BC\bot OK$ ( hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc là hình vuông )
Mà $OK\,\,||\,\,AB$ ( Vì $ABKO$ là hình bình hành )
Nên $BC\bot AB$
Khi đó $\widehat{ABC}=90{}^\circ $
Mà $ABCD$ là hình thoi
Vậy $ABCD$ là hình vuông ( hình thoi có một góc vuông là hình vuông )
Kết luận:
$ABCD$ là hình vuông thì $OBKC$ là hình vuông
