Giải thích các bước giải:
a.Gọi $UCLN(2n+7, 5n+2)=d$
$\to \begin{cases}2n+7\quad\vdots\quad d\\ 5n+2\quad\vdots\quad d\end{cases}$
$\to 5(2n+7)-2(5n+2)\quad\vdots\quad d$
$\to (10n+35)-(10n+4)\quad\vdots\quad d$
$\to 31\quad\vdots\quad d$
Để phân số đã cho tối giản
$\to d=1$
$\to d\ne 31$
$\to 2n+7\quad\not\vdots\quad 31$ hoặc $ 5n+2\quad\not\vdots\quad 31$
Giải: $2n+7\quad\not\vdots\quad 31$
Để $2n+7\quad\vdots\quad 31$
$\to 2n+7=31k, k\in $
Mà $2n+7$ lẻ
$\to 31k$ lẻ
$\to k$ lẻ
$\to k=2x+1, x\in N$
$\to 2n+7=31(2x+1)$
$\to 2n+7=62x+31$
$\to 2n=62x+24$
$\to n=31x+12$
$\to$Để $2n+7\quad\not\vdots\quad 31\to n\ne 31x+12, x\in N$
Giải $5n+2\quad\not\vdots\quad 31$
Để $5n+2\quad\vdots\quad 31$
$\to 5n+2=31k, k\in N$
Mà $5n+2$ chia $5$ dư $2$
$\to 31k$ chia $5$ dư $2$
$\to k$ chia $5$ dư $2$
$\to k=5y+2, y\in N$
$\to 5n+2=31(5y+2)$
$\to 5n+2=155y+62$
$\to 5n=155y+60$
$\to n=31y+12$
$\to$Để $5n+2\quad\not\vdots\quad 31
$\to n\ne 31y+12$
Kết hợp cả $2$ trường hợp
$\to$Để $\dfrac{2n+7}{5n+2}$ tối giản
$\to n\ne 31t+12$ hay $n$ chia $31$ không dư $12$
b.Gọi $UCLN(8n+193, 4n+3)=d$
$\to \begin{cases}8n+193\quad\vdots\quad d\\ 4n+3\quad\vdots\quad d\end{cases}$
$\to (8n+193)-2(4n+3)\quad\vdots\quad d$
$\to (8n+193)-(8n+6)\quad\vdots\quad d$
$\to 187\quad\vdots\quad d$
$\to d\in\{1, 11,17,187\}$
Để $\dfrac{8n+193}{4n+3}$ tối giản
$\to d=1$
$\to 8n+193\quad\not\vdots\quad 11$ hoặc $4n+3\quad\not\vdots\quad 11(1)$
Và $8n+193\quad\not\vdots\quad 17$ hoặc $4n+3\quad\not\vdots\quad 17(2)$
Giải $(1)$
Ta có:
$8n+193=11k, k\in N$
Vì $8n+193$ chia $8$ dư $1$
$\to k$ chia $8$ dư $3$
$\to k=8t+3, t\in N$
$\to 8n+193=11(8t+3)=88t+33$
$\to 8n=88t-160$
$\to n=11t-20$
$\to$Để $8n+193\quad\not\vdots\quad 11\to n\ne 11t-20$
$\to n$ chia $11$ dư khác $-20$
$\to n$ chia $11$ dư khác $2(*)$
Lại có:
$4n+3=11k, k\in N$
$\to 11k$ chia $4$ dư $3$
$\to k$ chia $4$ dư $1$
$\to k=4t+1, t\in N$
$\to 4n+3=11(4t+1)=44t+11$
$\to 4n=44t+8$
$\to n=11t+2$
$\to$Để $4n+3\quad\not\vdots\quad 11$
$\to n$ chia $11$ dư khác $2(**)$
Từ $(*), (**)\to n$ chia $11$ dư khác $2$
Ta có:
$8n+193=17k, k\in N$
$\to 17k$ chia $8$ dư $1$
$\to k$ chia $8$ dư $1$
$\to k=8t+1$
$\to 8n+193=17(8t+1)\to n=17t-22=17t-34+12$
$\to n$ chia $17$ dư $12(***)$
Lại có:
$4n+3=17a$
Vì $4n+3$ chia $4$ dư $3$
$\to 17a$ chia $4$ dư $3$
$\to a$ chia $4$ dư $3$
$\to a=4b+3$
$\to 4n+3=17(4b+3)\to n=17b+12\to n$ chia $17$ dư $12(****)$
Từ $(*** , ****)$
$\to $Để $(2)$ xảy ra $\to n$ chia $17$ dư khác $12$
Vậy $n$ chia $11$ dư khác $2$ và $ n$ chia $17$ dư khác $12$
