Đáp án: Không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$x^3+1=4y^2$

$\to (x+1)(x^2-x+1)=4y^2$

Gọi $UCLN(x+1, x^2-x+1)=d, d\in N^*$

$\to \begin{cases}x+1\quad\vdots\quad d\\ x^2-x+1\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to \begin{cases}x+1\quad\vdots\quad d\\ (x+1)^2-3(x+1)+3\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to \begin{cases}x+1\quad\vdots\quad d\\ 3\quad\vdots\quad d\end{cases}$

$\to d\in\{1,3\}$

Nếu $d=3$

$\to x+1=3k, k\in Z$

$\to x=3k-1$

$\to x^3+1=(3k-1)^3+1=27k^3-27k^2+9k$

$\to 27k^3-27k^2+9k=4y^2$

$\to 9k(3k^2-3k+1)=4y^2$

$\to y^2\quad\vdots\quad 9\to y\quad\vdots\quad 3\to y=3t,t\in Z$

$\to 9k(3k^2-3k+1)=4\cdot (3t)^2$

$\to 9k(3k^2-3k+1)=4\cdot 9t^2$

$\to 3k^2-3k+1=4\cdot t^2$

$\to 3k(k-1)+1=4\cdot t^2$

Mà $k-1, k$ là $2$ số nguyên liên tiếp

$\to k(k-1)\quad\vdots\quad 2$

$\to 3k(k-1)+1$ lẻ

$\to 3k(k-1)+1=4t^2$ vô lý

$\to d=3(loại)$

$\to d=1$

$\to (x+1, x^2-x+1)=1$

Mà $(x+1)(x^2-x+1)=4y^2$ là số chính phương

$\to x+1, x^2-x+1$ là số chính phương

$\to\begin{cases}x+1=n^2\\ x^2-x+1=m^2, m,n\in Z\end{cases}$

$\to\begin{cases}x+1=n^2\\ (x+1)^2-3(x+1)+3=m^2\end{cases}$

$\to\begin{cases}x+1=n^2\\ n^4-3n^2+3=m^2\end{cases}$

Ta có:

$n^4-3n^2+3=m^2$

$\to 4n^4-12n^2+12=4m^2$

$\to (2n^2)^2-2\cdot 2n^2\cdot 3+3^2+3=4m^2$

$\to (2n^2-3)^2+3=4m^2$

$\to 4m^2-(2n^2-3)^2=3$

$\to (2m)^2-(2n^2-3)^2=3$

$\to (2m+2n^2-3)(2m-2n^2+3)=3$

$\to (2m+2n^2-3,2m-2n^2+3)\in\{(1,3) ,(3,1), (-1,-3), (-3,-1)\}$

$\to (2m+2n^2,2m-2n^2)\in\{(4,0) ,(6,-2), (2,-6), (0,-4)\}$

$\to (m+n^2,m-n^2)\in\{(2,0) ,(3,-1), (1,-3), (0,-2)\}$

$\to (m, n^2)\in\{(1,1), (1,2), (-1,2), (-1, 1)\}$

Mà $n^2$ là số chính phương

$\to (m, n^2)\in\{(1,1), (-1, 1)\}$

$\to x+1=1$

$\to x=0$

$\to 4y^2=0+1=1$

$\to y^2=\dfrac14$ loại

$\to$Không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề