Giải thích các bước giải:
Đặt $t=\dfrac xy+\dfrac yx$
$\to |t|=|\dfrac xy+\dfrac yx|=|\dfrac{x^2+y^2}{xy}|=\dfrac{x^2+y^2}{|xy|}\ge \dfrac{2|xy|}{|xy|}=2$
Ta có:
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge \dfrac xy+\dfrac yx$
$\to (\dfrac xy+\dfrac yx)^2-2\ge \dfrac xy+\dfrac yx$
$\to t^2-2\ge t$
$\to t^2-t-2\ge 0$
$\to (t+1)(t-2)\ge 0$
Mà $|t|\ge 2\to t\ge 2$ hoặc $t\le -2$
Nếu $t\ge 2\to (t+1)(t-2)\ge 0$
Nếu $t\le -2\to t+1\le -2, t-2\le -4\to (t+1)(t-2)>0$
Kết hợp cả $2$ trường hợp $\to (t+1)(t-2)\ge 0$ luôn đúng
$\to \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge \dfrac xy+\dfrac yx$ luôn đúng
$\to đpcm$
