Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}
A\left( { - 3; - 2;0} \right),B\left( {3; - 3;1} \right),C\left( {5;0;2} \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 1;1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {8;2;2} \right)
\end{array}$

Để $ABCD$ là hình bình hành

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5 - {x_D} = 6\\
0 - {y_D} =  - 1\\
2 - {z_D} = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} =  - 1\\
{y_D} = 1\\
{z_D} = 1
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow D\left( { - 1;1;1} \right)
\end{array}$

Ta có:

$I$ là tâm hình bình hành

$\to I$ là trung điểm của $AC$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_C}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_C}}}{2}} \right)\\
 \Rightarrow I\left( {1; - 1;1} \right)
\end{array}$

Vậy $D\left( { - 1;1;1} \right)$ và $I\left( {1; - 1;1} \right)$

b) Ta có:

$\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4;4;0} \right)$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {BD} } \right|}} = \dfrac{{8.\left( { - 4} \right) + 2.4 + 2.0}}{{\sqrt {{8^2} + {2^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {4^2} + {0^2}} }} = \dfrac{{ - 1}}{2}\\
 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {120^0}
\end{array}$

Vậy $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {120^0}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 4; - 4;20} \right)\\
 \Rightarrow {S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{20}^2}}  = 12\sqrt 3 
\end{array}$

Vậy ${S_{ABCD}} = 12\sqrt 3 $