Đáp án:

$x \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}$

Giải thích các bước giải

 Ta có:

$A = \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + 2x + 2}}$

Với $x\in Z$ thì để $A \in Z$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right) \vdots \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\
 \Rightarrow x\left( {x + 2} \right) \vdots \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x} \right) \vdots \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {\left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \right) \vdots \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow  - 2 \vdots \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 2} \right) \in U\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\}\\
\left( {Do:{x^2} + 2x + 2 = {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1 \ge 1,\forall x} \right)\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 2 = 1\\
{x^2} + 2x + 2 = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 1 = 0\\
{x^2} + 2x = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\\
x\left( {x + 2} \right) = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right.
\end{array}$

Thử lại:

$\begin{array}{l}
 + )x =  - 1 \Rightarrow A = \dfrac{{\left( { - 1} \right) + 2}}{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2.\left( { - 1} \right) + 2}} =  - 1 \in Z\left( c \right)\\
 + )x = 0 \Rightarrow A = \dfrac{{0 + 2}}{{{0^2} + 2.0 + 2}} = 1 \in Z\left( c \right)\\
 + )x =  - 2 \Rightarrow A = \dfrac{{ - 2 + 2}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + 2.\left( { - 2} \right) + 2}} = 0 \in Z\left( c \right)
\end{array}$

Vậy $x \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}$ thỏa mãn