Giải thích các bước giải:
a.Nếu $x\ge \dfrac12\to 2x-1\ge 0\to |2x-1|=2x-1$
$\to 2x-1>x+3$
$\to x>4$(chọn) vì thỏa mãn $x\ge \dfrac12$
Nếu $x<\dfrac12\to 2x-1<0\to |2x-1|=-(2x-1)$
$\to -(2x-1)>x+3$
$\to -2x+1>x+3$
$\to 3x<-2$
$\to x<-\dfrac23$ thỏa mãn $x<\dfrac12$
$\to x<-\dfrac23$(chọn)
Vậy $x\in (-\infty, -\dfrac23)\cup (4,+\infty)$
b.Ta có:
$|5x+1|\le |2x-3|$
$\Leftrightarrow (|5x+1|)^2\le (|2x-3|)^2$
$\Leftrightarrow (5x+1)^2\le (2x-3)^2$
$\Leftrightarrow 25x^2+10x+1\le 4x^2-12x+9$
$\Leftrightarrow 21x^2+22x-8\le 0$
$\Leftrightarrow (7x-2)(3x+4)\le 0$
$\Leftrightarrow -\dfrac43\le x\le\dfrac27$
c.Ta có:
$|x+3|+|7-x|\ge |x+3+7-x|=10$ luôn đúng
$\to x\in R$
d.Ta có:
$|2x-3|<x-5$
Vì $|2x-3|\ge 0\to x-5>0\to x>5$
$\to 2x-3>2\cdot 5-3>0$
$\to |2x-3|=2x-3$
$\to 2x-3<x-5$
$\to x<-2$ vô lý vì $x>5$
$\to$Bất phương trình vô nghiệm
Câu 8:
a.ĐKXĐ $x\ge -3$
Ta có $\sqrt{x+3}\ge0\to 1-x\ge 0\to x\le 1$
$\to -3\le x\le 1$
Khi đó $\sqrt{x+3}<1-x$
$\to x+3<(1-x)^2$
$\to x+3<x^2-2x+1$
$\to x^2-3x-2>0$
$\to \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{17}{4}>0$
$\to \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2>\dfrac{17}{4}$
$\to x<\dfrac{-\sqrt{17}+3}{2}\quad \mathrm{or}\quad \:x>\dfrac{\sqrt{17}+3}{2}$
Kết hợp $-3\le x\le 1$
$\to -3\le \:x<\dfrac{-\sqrt{17}+3}{2}$
b.ĐKXĐ: $x\ge -2$
Ta có $\sqrt{x+2}\ge 5-4x$
$\to \sqrt{x+2}\ge 13-4(x+2)$
$\to 4(x+2)+\sqrt{x+2}-13\ge 0$
Đặt $\sqrt{x+2}=t, t\ge0$
$\to 4t^2+t-13\ge 0$
$\to 4\left(t+\dfrac{1}{8}\right)^2-\dfrac{209}{16}\ge \:0$
$\to 4\left(t+\dfrac{1}{8}\right)^2\ge \dfrac{209}{16}$
$\to t\le \dfrac{-\sqrt{209}-1}{8}\quad \mathrm{or}\quad \:t\ge \dfrac{\sqrt{209}-1}{8}$
Mà $t\ge 0$
$\to \:t\ge \dfrac{\sqrt{209}-1}{8}$
$\to \sqrt{x+2}\ge \dfrac{\sqrt{209}-1}{8}$
$\to \:x\ge \dfrac{105-\sqrt{209}}{32}-2$
c.ĐKXD: $x\ge -5$
Nếu $x<0\to |3-\sqrt{x+5}|\ge 0>x$
$\to$Bất đẳng thức đúng với $x<0$
$\to -5\le x<0(*)$
Nếu $x>0$
Ta có:
$|3-\sqrt{x+5}|>x$
$\to 3-\sqrt{x+5}>x(1)$
Hoặc $3-\sqrt{x+5}<-x(2)$
Giải $(1)$
$\to x+\sqrt{x+5}-3<0$
$\to (x+5)+\sqrt{x+5}-8<0$
Đặt $\sqrt{x+5}=t,t\ge 0$
$\to t^2+t-8<0$
$\to \left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{33}{4}<0$
$\to \left(t+\dfrac{1}{2}\right)^2<\dfrac{33}{4}$
$\to \dfrac{-\sqrt{33}-1}{2}<t<\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}$
Mà $t\ge0$
$\to 0\le t<\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}$
$\to 0\le \sqrt{x+5}<\dfrac{\sqrt{33}-1}{2}$
$\to x+5<(\dfrac{\sqrt{33}-1}{2})^2$
$\to x<\dfrac{17-\sqrt{33}}{2}-5$
$\to 0\le x<\dfrac{17-\sqrt{33}}{2}-5(**)$ vì $x>0$
Giải $(2)$
Ta có:
$3-\sqrt{x+5}<-x(2)$
$\to x+3-\sqrt{x+5}<0$
$\to (x+5)-\sqrt{x+5}-2<0$
$\to (\sqrt{x+5}-1)(\sqrt{x+5}+2)<0$
$\to \sqrt{x+5}<1$ vì $\sqrt{x+5}+2>0$
$\to x+5<1$
$\to x<-4$(loại vì $x>0$)
Kết hợp $(*), (**)\to -5\le \:x<\dfrac{-\sqrt{33}+7}{2}$
