Đáp án:
`a)` `4πcm`
`b)` `{4π}/3cm`
Giải thích các bước giải:
$\qquad CD=2\sqrt{3}cm;AM=1cm$
`a)` Vì $AB\perp CD$ tại $M$
`=>M` là trung điểm $CD$ (đường kính vuông góc tại trung điểm dây cung)
`=>CM=1/ 2 CD=1/ 2 .2\sqrt{3}=\sqrt{3}cm`
$\\$
Ta có:
`\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
`=>∆ABC` vuông tại $C$
Xét $∆ABC$ vuông tại $C$ có $CM\perp AB$
`=>CM^2=AM.MB` (hệ thức lượng)
`=>MB={CM^2}/{AM}={(\sqrt{3})^2}/1=3cm`
$\quad AB=AM+MB=1+3=4cm$
`=>R={AB}/2=4/2=2cm`
`=>C=2πR=2.π.2=4π(cm)`
Vậy độ dài đường tròn là $4π(cm)$
$\\$
`b)` Xét $∆OMC$ vuông tại $M$ có:
`\qquad CM=\sqrt{3}cm;OC=R=2cm`
`\qquad sin\hat{COM}={CM}/{OC}={\sqrt{3}}/2`
`=>\hat{COM}=60°`
$\\$
Ta có: $OC=OD=R=2cm$
`=>∆OCD` cân tại $O$
Vì $OM$ vừa là đường cao, đường trung trực $∆OCD$ (do $OM\perp CD$ tại trung điểm $M$ của $CD)$
`=>OM` là phân giác của $∆OCD$
`=>\hat{COD}=2\hat{COM}=2.60°=120°=sđ\stackrel\frown{CAD}` (góc ở tâm chắn $\stackrel\frown{CAD}$)
Ta có:
`l_{\stackrel\frown{CAD}}={πR.n_{\stackrel\frown{CAD}}}/{180}={π.2.120}/{180}={4π}/3cm`
Vậy độ dài cung `\stackrel\frown{CAD}` là `{4π}/3cm`
