$\text{1) Xét đường tròn đường kính AB có: D thuộc đường tròn đường kính AB}$

$\text{⇒ $\widehat{ADB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)}$

$\text{⇒ AD ⊥ BC}$

$\text{⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ Hay $\widehat{MDB}=\widehat{MDC}=90°$ }$

$\text{MI ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{MIA}=\widehat{MIC}=90°$}$

$\text{Xét tứ giác MDCI có: $\widehat{MDC}+\widehat{MIC}=90°+90°=180°$}$

$\text{Mà hai góc này ở vị trí đối nhau}$

$\text{⇒ Tứ giác MDCI nội tiếp đường tròn đường kính MC}$

$\text{2) Xét ΔABC vuông cân tại A có: AD là đường cao (AD ⊥ BC)}$

$\text{⇒ AD là trung trực của BC}$

$\text{Mà điểm M thuộc BC ⇒ MB=MC}$

$\text{(nếu bạn chưa biết thì mọi điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng)}$

$\text{Xét ΔMBC có: MB=MC (cmt)}$

$\text{⇒ ΔMBC cân tại M}$

$\text{⇒ $\widehat{MBD}=\widehat{MCD}$}$

$\text{Xét tứ giác MDCI có: $\widehat{MID}=\widehat{MCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\overparen{MD}$)}$

$\text{⇒ $\widehat{MID}=\widehat{MBD}$ Hay $\widehat{MID}=\widehat{MBC}$}$

$\text{3) MH ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{MHA}=\widehat{MHB}=90°$}$

$\text{Xét tứ giác AHMI có: }$

$\text{$\widehat{MHA}=90°$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{MIA}=90°$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{HAI}=90°$ (ΔABC vuông tại A)}$

$\text{⇒ Tứ giác AHMI là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)}$

$\text{⇒ $\widehat{IMH}=90°$}$

$\text{HK ⊥ ID (gt) ⇒ $\widehat{IKH}=90°$}$

$\text{Có $\widehat{IMH}=\widehat{IKH}=90°$}$

$\text{⇒ Hai điểm M và K cùng nhìn IH dưới một góc vuông}$

$\text{⇒ Hai điểm M và K cùng thuộc đường tròn đường kính IH}$

$\text{⇒ Bốn điểm I, K, M, H cùng thuộc đường tròn đường kính IH}$

$\text{⇒ Tứ giác IKMH nội tiếp đường tròn đường kính IH}$

$\text{Mà tứ giác AHMI nội tiếp đường tròn (AHMI là hình chữ nhật)}$

$\text{⇒ 5 điểm A, M, H, I, K thuộc đường tròn}$

$\text{⇒ $\widehat{MKA}=\widehat{MIA}=90°$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{AM}$}$

$\text{$\widehat{KAM}=\widehat{KIM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{KM}$}$

$\text{Hay $\widehat{KAM}=\widehat{MID}$}$

$\text{Xét ΔAKM có : $\widehat{MKA}=90°$ (cmt)}$

$\text{⇒ ΔAKM vuông tại K}$

$\text{⇒ $\widehat{KMA}+\widehat{KAM}=90°$  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)}$

$\text{⇒ $\widehat{KMA}=90°-\widehat{KAM}$}$

$\text{Mà $\widehat{KAM}=\widehat{MID}$ (cmt)}$

$\text{$\widehat{MBD}=\widehat{MID}$ (cmt)}$

$\text{⇒ $\widehat{KAM}=\widehat{MBD}$}$

$\text{⇒ $\widehat{KMA}=90°-\widehat{MBD}$}$

$\text{Xét ΔMDB vuông tại D ($\widehat{MDB}=90°$) có: }$

$\text{$\widehat{BMD}+\widehat{MBD}=90°$  (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)}$

$\text{⇒ $\widehat{BMD}=90°-\widehat{MBD}$}$

$\text{Mà $\widehat{KMA}=90°-\widehat{MBD}$ (cmt)}$

$\text{⇒ $\widehat{BMD}=\widehat{KMA}$}$

$\text{Có MD, MA là hai tia đối nhau, K,B nằm về hai phía của AD}$

$\text{⇒ $\widehat{KMD}$ và $\widehat{DMB}$ là hai góc đối đỉnh}$

$\text{⇒ 3 điểm K, M, B thẳng hàng}$