Đáp án:

a) \(\left( {\dfrac{{23}}{7};\dfrac{{13}}{7}} \right)\) là tọa độ giao điểm của Δ và Δ'

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a)vtcp:{\overrightarrow u _\Delta } = \left( { - 2;1} \right)\\
 \to vtpt:{\overrightarrow n _\Delta } = \left( {1;2} \right)
\end{array}\)

Phương trình tổng quát đường thẳng Δ đi qua A(1;3) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _\Delta } = \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}
x - 1 + 2\left( {y - 3} \right) = 0\\
 \to x + 2y - 7 = 0
\end{array}\)

Tọa độ giao điểm của Δ và Δ' là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 7 = 0\\
2x - 3y - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{23}}{7}\\
y = \dfrac{{13}}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)

⇒ \(\left( {\dfrac{{23}}{7};\dfrac{{13}}{7}} \right)\) là tọa độ giao điểm của Δ và Δ'

Gọi \(\alpha \) là góc giữa Δ và Δ' 

\(\begin{array}{l}
 \to \cos \alpha  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\Delta '}}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {1.2 - 2.3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt {65} }}\\
 \to \alpha  = 60,255^\circ 
\end{array}\)

b) Do (d1) song song Δ

\( \to vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {1;2} \right)\)

Phương trình đường thẳng (d1) đi qua M(2;-5) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}
x - 2 + 2\left( {y + 5} \right) = 0\\
 \to x + 2y + 8 = 0
\end{array}\)

c) Do (d2) vuông góc Δ'

\(\begin{array}{l}
 \to vtcp:{\overrightarrow u _d} = vtpt:{\overrightarrow n _{\Delta '}} = \left( {2; - 3} \right)\\
 \to vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {3;2} \right)
\end{array}\)

Phương trình đường thẳng (d2) đi qua N(4;-8) và có \(vtpt:{\overrightarrow n _d} = \left( {3;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}
3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 8} \right) = 0\\
 \to 3x + 2y + 4 = 0
\end{array}\)

d) Do K∈Δ

⇒ K(1-2t;3+t)

Do khoảng cách từ K đến Δ' là 4

\(\begin{array}{l}
 \to d\left( {K;\left( {\Delta '} \right)} \right) = 4\\
 \to \dfrac{{\left| {2\left( {1 - 2t} \right) - 3\left( {3 + t} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = 4\\
 \to \left| { - 7t - 7} \right| = 4\sqrt {13} \\
 \to \left[ \begin{array}{l}
 - 7t - 7 = 4\sqrt {13} \\
 - 7t - 7 =  - 4\sqrt {13} 
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
t =  - \dfrac{{7 + 4\sqrt {13} }}{7}\\
t = \dfrac{{ - 7 + 4\sqrt {13} }}{7}
\end{array} \right.\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
K\left( {\dfrac{{21 + 8\sqrt {13} }}{7};\dfrac{{14 - 4\sqrt {13} }}{7}} \right)\\
K\left( {\dfrac{{21 - 8\sqrt {13} }}{7};\dfrac{{14 + 4\sqrt {13} }}{7}} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)