$\text{a. Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A (gt) có:}$
$\text{BC²=AB²+AC²}$
$\text{Hay BC²=12²+16²=144+256=400}$
$\text{⇒ BC=20 (cm) (vì BC>0)}$
$\text{b. Xét ΔABC có:}$
$\text{AD là phân giác $\widehat{BAC}$ (gt)}$
$\text{⇒ $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác trong tam giác)}$
$\text{Hay $\frac{DB}{DC}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$}$
$\text{⇒ $\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}$}$
$\text{Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có:}$
$\text{$\frac{DB}{3}=\frac{DC}{4}=\frac{DB+DC}{3+4}=\frac{BC}{7}=\frac{20}{7}$}$
$\text{Có $\frac{DB}{3}=\frac{20}{7}$ ⇒ $DB=\frac{3.20}{7}=\frac{60}{7}$ (cm)}$
$\text{$CD=BC-BD=20-\frac{60}{7}=\frac{80}{7}$ (cm)}$
$\text{c, $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}.12.16=96$ (cm²)}$
$\text{Có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$}$
$\text{⇒ $\frac{1}{2}.AH.BC=96$}$
$\text{Hay $\frac{1}{2}.AH.20=96$}$
$\text{⇔ $AH.10=96$}$
$\text{⇔ $AH=9,6$ (cm)}$
