Đáp án: `a)m\ne\frac{1}{2}``
`b)m=\frac{1}{4}`
`c)m∈{\frac{3}{4};\frac{1}{3}}`
Giải thích các bước giải:
$a)$ Ta có: $Δ=(-4m)^2-4.1.(4m-1)$
$=16m^2-16m+4$
Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt
$⇔16m^2-16m+4>0$
$⇔(4m-2)^2>0$
Mà $(4m-2)^2≥0∀m$
$⇒4m-2\neq0$
`⇔m\ne\frac{1}{2}`
$b)$ Theo câu $a:(4m-2)^2≥0∀m$
$⇒Δ≥0∀m$
$⇒$ Phương trình luôn có $2$ nghiệm $∀m$
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\large \left \{ {{x_1+x_2=4m(1)} \atop {x_1x_2=4m-1(2)}} \right.$
Ta có: $x_1^2+x_2^2=1$
$⇔(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1$
$⇔(4m)^2-2(4m-1)=1$
$⇔16m^2-8m+1=0$
$⇔(4m-1)^2=0$
$⇔4m-1=0$
`⇔m=\frac{1}{4}`
$c)$ Kết hợp $(1)$ và điều kiện bài ra ta có hệ:
$\large \left \{ {{2x_1-3x_2=1} \atop {x_1+x_2=4m}} \right.⇔\large \left \{ {{2x_1-3x_2=1} \atop {2x_1+2x_2=8m}} \right.$
$⇔\large \left \{ {{(2x_1+2x_2)-(2x_1-3x_2)=8m-1} \atop {x_1+x_2=4m}} \right.⇔\large \left \{ {{5x_2=8m-1} \atop {x_1=4m-x_2}} \right.$
$⇔\huge \left \{ {{x_2=\frac{8m-1}{5}} \atop {x_1=4m-x_2}} \right.⇔\huge \left \{ {{x_2=\frac{8m-1}{5}} \atop {x_1=4m-\frac{8m-1}{5}=\frac{12m+1}{5}}} \right.$
Thay vào $(2)$ ta được:
`\frac{12m+1}{5}.\frac{8m-1}{5}=4m-1⇔(12m+1)(8m-1)=25(4m-1)`
$⇔96m^2-4m-1=100m-25⇔96m^2-104m+24=0$
Ta có: `Δ=(-104)^2-4.96.24`
`=1600>0`
Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt:
`m_1=\frac{-(-104)+\sqrt{1600}}{2.96}=\frac{3}{4}`
`m_1=\frac{-(-104)-\sqrt{1600}}{2.96}=\frac{1}{3}`
