$\text{1, ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90°$}$
$\text{Xét (O), đường kính IC có: D ∈ (O)}$
$\text{⇒ $\widehat{IDC}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay $\widehat{BDC}=90°$}$
$\text{Có: $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90°$}$
$\text{⇒ Hai điểm A và D cùng nhìn BC dưới một góc vuông}$
$\text{⇒ Hai điểm A và D cùng thuộc đường tròn đường kính BC}$
$\text{⇒ Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC}$
$\text{⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC}$
$\text{2, Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC (cmt)}$
$\text{⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{AB}$)}$
$\text{Xét (O) có: $\widehat{MDI}=\widehat{MCI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\overparen{MI}$)}$
$\text{Hay $\widehat{ADB}=\widehat{MCA}$}$
$\text{Mà $\widehat{ADB}=\widehat{ACB}$ (cmt)}$
$\text{⇒ $\widehat{ACB}=\widehat{MCA}$}$
$\text{⇒ CA là phân giác $\widehat{MCB}$}$
$\text{Hay CI là phân giác $\widehat{NCB}$}$
$\text{Xét ΔNCB có: CI là phân giác $\widehat{NCB}$ (cmt)}$
$\text{⇒ $\frac{NI}{IB}=\frac{NC}{BC}$ (tính chất tia phân giác trong tam giác)}$
$\text{Có BC=2R (gt)}$
$\text{⇒ $\frac{NI}{IB}=\frac{NC}{2R}$}$
$\text{⇒ NC.BI=NI.2R}$
$\text{⇒ NC.BI=2.NI.R}$
$\text{⇒ $\frac{NC.BI}{2.NI}=R$}$
