Đáp án:
$\displaystyle\int\limits_1^ex^3\ln^2xdx=\dfrac{5e^4 -1}{32}$
Giải thích các bước giải:
$\quad I =\displaystyle\int\limits_1^ex^3\ln^2xdx$
Đặt $\begin{cases}u = \ln^2x\\dv = x^3dx\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}du = \dfrac2x\ln xdx\\v =\dfrac{x^4}{4}\end{cases}$
Ta được:
$\quad I = \dfrac{x^4\ln^2x}{4}\Bigg|_1^e - \dfrac12\displaystyle\int\limits_1^e x^3\ln xdx$
$\to I = \dfrac{e^4}{4} - \dfrac12\displaystyle\int\limits_1^e x^3\ln xdx$
Đặt $\begin{cases}t = \ln x\\dz = x^3dx\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}dt= \dfrac1xdx\\z =\dfrac{x^4}{4}\end{cases}$
Ta được:
$\quad I = \dfrac{e^4}{4} - \dfrac12\left(\dfrac{x^4\ln x}{4}\Bigg|_1^e - \dfrac14\displaystyle\int\limits_1^ex^3dx\right)$
$\to I = \dfrac{e^4}{4} - \dfrac{e^4}{8} + \dfrac18\cdot \dfrac{x^4}{4}\Bigg|_1^e$
$\to I =\dfrac{e^4}{8} + \dfrac{e^4 -1}{32}$
$\to I =\dfrac{5e^4 -1}{32}$
