a)
$\Delta DEH$ có $HM$ là phân giác $\widehat{DHE}$
$\to \dfrac{MD}{DH}=\dfrac{ME}{EH}=\dfrac{MD+ME}{DH+EH}=\dfrac{DE}{DH+EH}=\dfrac{16}{20+12}=\dfrac{1}{2}$
$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{MD}{DH}=\dfrac{1}{2}\to MD=\dfrac{1}{2}DH=\dfrac{1}{2}.20=10\,\,\left( cm \right)$
$\bullet \,\,\,\,\,\dfrac{ME}{EH}=\dfrac{1}{2}\to ME=\dfrac{1}{2}EH=\dfrac{1}{2}.12=6\,\,\left( cm \right)$
b)
$\Delta DEH$ có $HM$ là tia phân giác $\widehat{DHE}$
$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{DH}{EH}$
$\Delta DHF$ có $HN$ là tia phân giác $\widehat{DHF}$
$\to \dfrac{ND}{NF}=\dfrac{DH}{FH}$
Mà $EH=FH$ ( vì $H$ là trung điểm $EF$ )
$\to \dfrac{DH}{EH}=\dfrac{DH}{FH}$
$\to \dfrac{MD}{ME}=\dfrac{ND}{NF}$
$\to MN\,\,||\,\,EF$ ( định lý Ta – let đảo )
c)
$\Delta DEH$ có $MI\,\,||\,\,EH$
$\to \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{MI}{EH}$ ( hệ quả định lý Ta – let )
$\Delta DFH$ có $NI\,\,||\,\,FH$
$\to \dfrac{DI}{DH}=\dfrac{NI}{FH}$ ( hệ quả định lý Ta – let )
$\to \dfrac{MI}{EH}=\dfrac{NI}{FH}$
Mà $EH=FH$ ( vì $H$ là trung điểm $EF$ )
$\to MI=NI$
$\to I$ là trung điểm $MN$
d)
$\Delta DEF$ có $MN\,\,||\,\,EF$
$\to \Delta DMN\backsim\Delta DEF$
$\to \dfrac{{{S}_{\Delta DMN}}}{{{S}_{\Delta DEF}}}={{\left( \dfrac{DM}{DE} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{10}{16} \right)}^{2}}=\dfrac{25}{64}$
$\to {{S}_{\Delta DMN}}=\dfrac{25}{64}{{S}_{\Delta DEF}}$
${{S}_{EMNF}}={{S}_{\Delta DEF}}-{{S}_{\Delta DMN}}$
${{S}_{EMNF}}={{S}_{\Delta DEF}}-\dfrac{25}{64}{{S}_{\Delta DEF}}$
${{S}_{EMNF}}=\dfrac{39}{64}{{S}_{\Delta DEF}}$
${{S}_{EMNF}}=\dfrac{39}{64}.96$
${{S}_{EMNF}}=58,5\,\,\left( c{{m}^{2}} \right)$
