$\text{a, AI là phân giác $\widehat{BAM}$ (gt)}$
$\text{⇒ $\widehat{BAI} = \widehat{IAM}$}$
$\text{Xét ΔABI và ΔAMI có:}$
$\text{AB = AM (gt)}$
$\text{$\widehat{BAI} = \widehat{IAM}$ (cmt)}$
$\text{AI : cạnh chung}$
$\text{⇒ ΔABI = ΔAMI (c.g.c)}$
$\text{⇒ $\widehat{AIB} = \widehat{IAM}$ (hai góc tương ứng)}$
$\text{Mà hai góc này ở vị trí kề bù}$
$\text{⇒ $\widehat{AIB} = \widehat{AIM}=\frac{180°}{2}=90°$}$
$\text{⇒ AI ⊥ BM}$
$\text{b, ΔABI = ΔAMI (cmt)}$
$\text{⇒ AB = AM (hai cạnh tương ứng)}$
$\text{⇒ 2AB = 2AM}$
$\text{Có AB = BD (gt) ⇒ AB + BD = AD Hay 2AB= AD}$
$\text{$AM=MC=\frac{1}{2}AC$ (gt)}$
$\text{⇒ AM + MC =AC Hay 2AM = AC}$
$\text{⇒ AD = AC }$
$\text{Gọi giao điểm của AI và CD là E}$
$\text{Xét ΔAED và ΔAEC có:}$
$\text{AD = AC (cmt)}$
$\text{$\widehat{DAE} = \widehat{EAC}$ ($\widehat{BAI} = \widehat{IAM}$)}$
$\text{AE : cạnh chung}$
$\text{⇒ ΔAED = ΔAEC (c.g.c)}$
$\text{⇒ $\widehat{AED} = \widehat{AEC}$ (hai góc tương ứng)}$
$\text{Mà hai góc này ở vị trí kề bù}$
$\text{⇒ $\widehat{AED} = \widehat{AEC}=\frac{180°}{2}=90°$}$
$\text{⇒ AE ⊥ DC Hay AI ⊥ DC tại E}$
$\text{Mà AI ⊥ BM (cmt)}$
$\text{⇒ BM // CD (từ vuông góc đến song song)}$
