Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Lời giải chi tiết.
Thay \(a+b+c=2\) vào \(Q\) ta nhận được
\(\begin{align} & Q=\sqrt{\left( a+b+c \right)a+bc}+\sqrt{\left( a+b+c \right)b+ac}+\sqrt{\left( a+b+c \right)c+ab} \\ & \,\,\,\,\,=\sqrt{{{a}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{b}^{2}}+ab+ac+bc}+\sqrt{{{c}^{2}}+ab+ac+bc}\,\,\left( 1 \right) \\ & \,\,\,\,\,=\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}. \\ \end{align}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho bộ \(\left( \sqrt{a+b},\sqrt{a+c} \right)\) ta nhận được \(\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( a+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 2 \right).\)
Chứng minh tương tự ta có \(\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+b \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right),\)
\(\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le \frac{\left( a+c \right)+\left( b+c \right)}{2}\,\,\,\,\left( 4 \right).\)
Cộng vế theo vế \(\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right)\) ta nhận được
\(\sqrt{\left( a+b \right)\left( a+c \right)}+\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)}+\sqrt{\left( a+c \right)\left( b+c \right)}\le 2\left( a+b+c \right)=4\,\,\left( 5 \right).\)
Thay \(\left( 5 \right)\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(Q\le 4.\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\ & \sqrt{a+c}=\sqrt{b+c} \\ & \sqrt{a+b}=\sqrt{a+c} \\ & a+b+c=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow a=b=c=\frac{2}{3}.\)
Chọn đáp án D.
