Giá trị của \(m\) để hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & x+xy+y=m+1 \\ & {{x}^{2}}y+x{{y}^{2}}=m \\ \end{align} \right.\) có nghiệm \(x,y>0\) là:
A. \(m>0\) B.\(m\ge -1\) C.\(m>-1\) D.\(\forall m\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Cách làm: Đặt \(\left\{ \begin{align} & x+y=u \\ & xy=v \\ \end{align} \right.\left( u,v>0 \right)\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & u+v=m+1 \\ & uv=m \\ \end{align} \right.\) Khi đó \(u,v\) là nghiệm dương của phương trình \({{T}^{2}}-\left( m+1 \right)T+m=0\) (*) Để hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x,y>0\) thì phương trình (*) có \(2\) nghiệm dương Phương trình (*) có \(2\) nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 4m \ge 0\\m + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\\m > - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\) Chọn A.