Đáp án:

$I\left( {\dfrac{{ - 13 + 7\sqrt 5 }}{2};7 - 2\sqrt 5 } \right)$

Giải thích các bước giải:

Gọi $AD,CI$ là phân giác của tam giác $ABC$

 Ta có:

$\begin{array}{l}
A\left( {1;5} \right),B\left( { - 4; - 5} \right),C\left( {4;1} \right)\\
 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( { - 5; - 10} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {8;6} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - 4} \right)\\
 \Rightarrow AB = 5\sqrt 5 ;BC = 10;AC = 5
\end{array}$

Lại có:

$CE$ là phân giác của tam giác $ABC$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{EB}} = \dfrac{{CA}}{{CB}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{EA}}{{AB}} = \dfrac{{CA}}{{CA + CB}} = \dfrac{1}{3}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
EA = AB.\dfrac{1}{3} = \dfrac{{5\sqrt 5 }}{3}\\
\overrightarrow {AE}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AB}  = \left( {\dfrac{{ - 5}}{3};\dfrac{{ - 10}}{3}} \right) \Rightarrow E\left( {\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{5}{3}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \overrightarrow {EC}  = \left( {\dfrac{{14}}{3};\dfrac{{ - 8}}{3}} \right)
\end{array}$

Mặt khác:

$AI$ là phân giác của tam giác $AEC$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{IE}} = \dfrac{{AC}}{{AE}}\\
 \Rightarrow \dfrac{{IC}}{{EC}} = \dfrac{{AC}}{{AE + AC}} = \dfrac{{9 - 3\sqrt 5 }}{4}\\
 \Rightarrow \overrightarrow {CI}  = \dfrac{{ - 9 + 3\sqrt 5 }}{4}\overrightarrow {EC} 
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overrightarrow {CI}  = \left( {\dfrac{{ - 21 + 7\sqrt 5 }}{2};6 - 2\sqrt 5 } \right)\\
 \Rightarrow I\left( {\dfrac{{ - 13 + 7\sqrt 5 }}{2};7 - 2\sqrt 5 } \right)
\end{array}$

Vậy $I\left( {\dfrac{{ - 13 + 7\sqrt 5 }}{2};7 - 2\sqrt 5 } \right)$